สมการและอสมการ

          สมการบางสมการอาจจะไม่มีคำตอบ เช่น ถ้าถามว่า "มีจำนวนเต็มจำนวนใดบ้างซึ่งคูณกับ 2 แล้วได้ 3" ก็ต้องตอบว่า "ไม่มีจำนวนเต็มเช่นนั้น" เราพูดได้อีกอย่างหนึ่งว่า สมการ  2x  =  3 ไม่มีคำตอบซึ่งเป็นจำนวนเต็ม
          เราทราบว่าจำนวนจริงใดๆ ก็ตามเมื่อคูณกับตัวเองแล้วย่อมไม่ได้จำนวนลบ ดังนั้น เราพูดว่า สมการ X x X  =  -1ซึ่งเขียนได้ว่า x²  = -1 ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนจริง
          สมการบางสมการอาจมีคำตอบมากกว่าหนึ่งคำตอบ เช่น ถ้าถามว่า "จำนวนใดคูณกับตัวเองแล้วได้ 1" ก็ต้องตอบว่า "-1 และ 1" หรือพูดว่าสมการ x² = 1 มีคำตอบ  2  คำตอบ  คือ  -1 และ 1
          สมการที่มีตัวแปรเดียวและเลขชี้กำลัง*  ของตัวแปรเป็น 1 เราเรียกว่าสมการเชิงเส้น (Linear equation) ที่มีตัวแปรเดียว ดังนั้น 2x - 5 = 1, 6 + 3x = 2, 3t +      1 - 2y = 2.7, 2z - 10 = 0 ล้วนเป็นตัวอย่างของสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรเดียว

          การแก้สมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรตัวเดียว เรามีหลักการใหญ่ๆ ดังนี้ คือ
          (1) ถ้านำจำนวนๆ หนึ่งมาบวก หรือลบทั้งสองข้างของเครื่องหมาย = เราจะได้สมการ ซึ่งมีคำตอบเหมือนสมการเดิม
          (2) ถ้านำจำนวนๆ หนึ่ง ซึ่งไม่ใช่ 0 มาคูณ หรือหารทั้งสองข้างของเครื่องหมาย = เราจะได้สมการซึ่งมีคำตอบเหมือนสมการเดิม

          สมมุติว่าเราต้องการแก้สมการ 2x + 3 = 5  เราใช้หลักทั้งสองข้อดังนี้
                      2x + 3   =  5
                      2x          =  2  นำ  3  มาลบทั้งสองข้าง
                        x          =  1  นำ  2  มาหารทั้งสองข้าง
          จากหลักทั้งสองข้อ เราได้ว่าสมการทั้งสามนี้มีคำตอบเหมือนกัน ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า 1 เป็นคำตอบของสมการ 2x + 3 = 5
                    
          * เราเขียน 5 ได้ว่า 5¹ และเรียก 1 ว่า เลขชี้กำลัง
             เราเขียน 5 x 5 ได้ว่า 5² และเรียกเลข 2 ว่า เลขชี้กำลัง
             เราเขียน 5 x 5 x 5 ได้ว่า 5³ และเรียกเลข 3 ว่า เลขชี้กำลัง ฯลฯ
             ให้ x แทนจำนวนใด ๆ ก็ตาม
             เราเขียน X  ได้ว่า X¹ และเรียกเลข 1 ว่า เลขชี้กำลัง
             เราเขียน X x X ได้ว่า X² และเรียกเลข 2 ว่า เลขชี้กำลัง
             เราเขียน X x X x X ได้ว่า X³ และเรียกเลข 3 ว่า เลขชี้กำลัง
             เราเขียน X x X x X x X x X ได้ว่า X⁵ และเรียกเลข 5 ว่า เลขชี้กำลัง ฯลฯ
             เลขชี้กำลังไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนเต็มบวก แต่เราจะไม่กล่าวถึงในที่นี้

          หลักข้อ (2)  ห้ามนำ O มาหารทั้งสองข้างของเครื่องหมาย = ในสมการ เพราะการหารด้วย O ไม่มีความหมาย และหลักเดียวกันนี้ห้ามนำ O มาคูณทั้งสองข้างของเครื่องหมาย  = ในสมการ เพราะสมการใหม่จะมีคำตอบต่างจากสมการเดิม  ตัวอย่างเช่น สมการ 2x = 6 มีคำตอบเพียงคำตอบเดียว ได้แก่ 3 แต่สมการ 2X x 0 = 6x0  นั้นมีจำนวนจริงทุกจำนวนเป็นคำตอบ เนื่องจากจำนวนจริงใดๆ ก็ตามคูณกับ O แล้วย่อมได้ O

          ควรสังเกตว่า การพูดกว้างๆ ว่า "ในการแก้สมการนั้น ถ้าทำอย่างไรทางซ้าย (ของเครื่องหมาย  =) แล้วให้ทำอย่างเดียวกันทางขวา (ของเครื่องหมาย  =)" นั้น ใช้ไม่ได้ เพราะสมการใหม่อาจมีคำตอบต่างจากสมการเดิมได้ เช่น สมการ x = 3 กับสมการ x² = 3² ซึ่งได้จากการ "ยกกำลังสองทั้งสองข้าง" มีคำตอบต่างกัน สมการ x = 3  มีคำตอบเพียงคำตอบเดียวคือ   3 ส่วนสมการ x² = 3² มีคำตอบ 2 คำตอบ คือ -3 กับ 3

          สมการ  x-1 = 0 กับสมการ x (x-1) = 0 ก็มีคำตอบต่างกัน สมการที่สองได้จากการคูณ x ทั้งสองข้าง (ของเครื่องหมาย =) ในสมการแรก หรือจะพูดว่าสมการแรกได้จากการหารด้วย  x ทั้งสองข้างในสมการที่สองก็ได้ สมการ x-1 = 0 มีคำตอบเพียงคำตอบเดียวคือ 1ส่วนสมการ x (x-1) = 0 มีคำตอบ 2 คำตอบ คือ 0 และ 1

          สมการอาจจะมีตัวแปรกี่ตัวแปรก็ได้ เช่น โจทย์ที่ว่า "จงหาจำนวนสองจำนวนซึ่งมีผลต่างเป็น 3" อาจจะเขียนได้ว่า "จงแก้สมการ x-y = 3" สมการ x-y = 3 เป็นสมการที่มีตัวแปร 2 ตัว สมการนี้มีคำตอบมากมาย เช่น x = 4 และ y = 1 หรือ x = 3 และ y = 0 หรือ x =    และ  y  =  -3   เป็นต้น คำตอบเหล่านี้เรานิยมเขียนในรูปคู่ลำดับว่า (4,1),  (3,0) ,  (      ) จำนวนแรกในคู่ลำดับแทนค่า x จำนวนหลังแทนค่า y  ดังนั้น (4,1) เป็นคำตอบหนึ่งๆ ของสมการ x - y = 3 แต่ (1,4) ไม่ใช่คำตอบของสมการนี้

          เนื่องจากสมการ x - y = 3 นี้ มีคำตอบที่เป็นจำนวนจริงอยู่มากมาย ไม่สามารถแจกแจงให้ดูได้หมด วิธีที่จะแสดงคำตอบได้วิธีหนึ่งคือ การเขียนกราฟ

          สมการที่มีตัวแปรเดียวก็สามารถแก้ได้โดยวิธีกราฟ เช่น ถ้าต้องการแก้สมการ 2x + 3 = 5 ซึ่งมีคำตอบเหมือนสมการ 2x - 2 = 0 (นำ 5 มาลบทั้งสองข้างของเครื่องหมาย =) เราเพิ่มตัวแปร y ขึ้นมาอีกหนึ่งตัว โดยกำหนดให้ 2x -2 = y

          สมการนี้เป็นสมการที่มีตัวแปรสองตัว  คำตอบของสมการ 2x - 2 = y คือทุกจุดที่อยู่บนเส้นตรงสีแดง ค่าของ x ที่ทำให้ y เป็น 0 เป็นคำตอบของสมการ 2x-2  =0 จุดบนกราฟที่  y เป็น 0  คือจุดที่กราฟตัดแกนนอน เส้นตรงนี้ตัดแกนนอนที่จุด (1,0)
           เราจึงสรุปได้ว่า 1 เป็นคำตอบของสมการ  2x - 2  = 0
                                                          หรือสมการ  2x + 3 = 5

           สมการ x² - 2x = 3 มีคำตอบเหมือนสมการ x² - 2x - 3  = 0 เราแก้ได้โดยเขียนกราฟแสดงคำตอบของสมการ x² - 2x - 3  =  y (เส้นโค้งสีน้ำเงินในรูป) ค่าของ x ที่ทำให้ y เป็น 0 เป็นคำตอบของสมการ x² - 2x - 3 = 0 จุดบนกราฟที่ y เป็น 0 คือจุดที่กราฟตัดแกนนอนได้แก่จุด (-1,0) และ (3,0)
           เราจึงสรุปว่า -1 กับ 3 เป็นคำตอบของสมการ x² - 2x - 3 = 0 หรือ x² - 2x = 3

           ในการแก้สมการ x² - 2x + 2 = 0  เราเขียนกราฟแสดงคำตอบของสมการ x² - 2x + 2 = y จะพบว่ากราฟนั้นไม่ตัดแกนนอน แสดงว่าจุด (x,0) ไม่อยู่บนกราฟ ดังนั้น (x,0) ไม่ใช่คำตอบของสมการ  x² - 2x + 2 = y นั่นคือไม่ว่า x จะแทนจำนวนจริงใดๆ ก็ตาม  x² - 2x + 2  ไม่เท่ากับ 0 เราจึงสรุปได้ว่าสมการ x² -2x + 2 = 0 ไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนจริง

           บางทีเราพบโจทย์บางประเภท เช่น "ชาวนาคนหนึ่งเลี้ยงหมูและไก่ ถ้านับหัวของสัตว์เหล่านี้จะได้ 20 หัว ถ้านับขาจะได้ 50 ขา ถามว่าเขามีหมูและไก่อย่างละกี่ตัว"

          ถ้าให้ x แทนจำนวนหมู และ y แทนจำนวนไก่ เราจะได้สมการ 2 สมการคือ
                         x + y     = 20  (จำนวนหัว)
                       4x + 2y   = 50  (จำนวนขา)

         เราต้องการหาค่าของ x และ y ซึ่งเมื่อนำไปแทนในสมการทั้งสองแล้วจะได้ข้อความจริงทั้งคู่ ในกรณีนี้ถ้าแทน x  ด้วย 5 และแทน y ด้วย 15 ในสมการทั้งคู่ จะได้ข้อความจริง เราจึงพูดว่า (5, 15) เป็นคำตอบของ ระบบสมการ (system of equations) ข้างต้น สมการทั้งสองเป็นสมการเชิงเส้นทั้งคู่ เราจึงเรียกระบบสมการนี้ว่า ระบบสมการเชิงเส้น (system of linear equations)

         ระบบสมการเชิงเส้นมีวิธีแก้หลายวิธี แต่ในที่นี้จะกล่าวถึงการแก้ระบบสมการด้วยวิธีเขียนกราฟ

         คำตอบ (5, 15) สำหรับระบบสมการในโจทย์ปัญหาเรื่องชาวนากับสัตว์เลี้ยง หาได้จากกราฟ ดังนี้
         เขียนกราฟของสมการทั้งสองจะได้เส้นตรง 2 เส้น ทุกจุดบนเส้นตรงสีน้ำเงินเป็นคำตอบของสมการ x + y = 20 ทุกจุดบนเส้นตรงสีแดง เป็นคำตอบของสมการ 4x + 2y = 50 จุดตัดคือ (5, 15) จึงเป็นคำตอบของสมการทั้งคู่พร้อมๆ กันและเป็นคำตอบของระบบสมการนี้

         เราจึงสรุปได้ว่า ระบบสมการที่ประกอบด้วยสมการเชิงเส้น ที่มีตัวแปร 2 ตัว 2 สมการ อาจมีคำตอบเพียงคำตอบเดียว ในกรณีที่เส้นตรงทั้งสองตัดกันหรือไม่มีคำตอบเลยในกรณีที่เส้นตรงทั้งสองขนานกัน หรือมีคำตอบมากมายแจกแจงไม่หมดในกรณีที่เส้นตรงทั้งสองทับกัน
         แม้ว่าระบบสมการที่มีตัวแปรไม่เกิน 2 ตัว จะไม่ใช่ระบบสมการเชิงเส้นเราก็อาจแก้ไขได้โดยวิธีเขียนกราฟ เช่น

         ระบบสมการเชิงเส้น  x² + 4y² = 4
                                  y = x² - 2
         มีคำตอบ 4 คำตอบ ค่าโดยประมาณคือ (-1.1,-.8), (1.1,-8), (-1.6,.6), 1.6,.6
[กลับหัวข้อหลัก]

          สมการที่น่าสนใจประเภทหนึ่ง คือ สมการที่ต้องการคำตอบเฉพาะที่เป็นจำนวนเต็ม หรือจำนวนตักยะ สมการประเภทนี้เรียกว่า  สมการไดโอแฟนทีน (Diophantine equations) ซึ่งเป็นชื่อที่ตั้งขึ้นเพื่อเป็นเกียรติแก่นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกชื่อ  ไดโอแฟนทัส *(Diophantus)

          ตัวอย่างของโจทย์ปัญหาประเภทนี้คือ "มีส้มอยู่จำนวนหนึ่ง ถ้าจะแบ่งให้คน 5 คนๆ ละเท่าๆ กัน จะขาดส้ม 1 ผล ถ้าจะแบ่งให้คน 7 คนๆ ละเท่าๆ กัน ก็จะขาด 1 ผล ถามว่ามีส้มอยู่เท่าไร"
          ถ้าสมมุติว่ามีส้มอยู่ n ผล เราจะได้ว่า n+1 หารด้วย  5 ลงตัว และหารด้วย 7 ก็ลงตัว นั่นคือ n+1 = 5x  และ n+1 = 7y  เมื่อ x และ y แทนจำนวนเต็มบวก

          เราจึงต้องแก้สมการ 5x = 7y  เมื่อ x และ y  แทนจำนวนเต็มบวก

          จะเห็นว่าสมการนี้มีคำตอบมากมายได้แก่ (7,5), (14,10), (21,15), (28,20), (35,25), (42,30),... คำตอบเหล่านี้ให้ค่า 5x (หรือ 7y)  เป็น 35, 70, 105, 140, 175, 210,... ตามลำดับ  ดังนั้นค่าของ n ที่ต้องการคือ 34, 69, 104, 139, 174, 209,... ถ้าโจทย์ถามเพิ่มเติมว่าจำนวนส้มน้อยที่สุดเป็นเท่าไร จึงจะมีลักษณะตามที่ต้องการ ก็จะได้คำตอบ  34

          สมการไดโอแฟนทีนมีอยู่มากมายหลายประเภท สมการไดโอแฟนทีนที่มีชื่อเสียงมากสมการหนึ่งคือ สมการ x² + y²  = z² ซึ่งเราเรียกกันว่า สมการปีทาโกเรียน (Pythagorean equation) ชื่อนี้ตั้งขึ้นเพื่อเป็นเกียรติแก่ ปีทาโกรัส*(Pythagorus) การหาคำตอบที่เป็นจำนวนบวกของสมการนี้ก็คือ การหาความยาวที่เป็นจำนวนเต็มของด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมมุมฉากนั่นเอง คำตอบที่เราทราบกันดีคือ x=3, y=4, z=5 ซึ่งเขียนได้อีกอย่างหนึ่งว่า (3,4,5) สมการปีทาโกเรียนนี้มีคำตอบมากมายนับได้ไม่หมด คำตอบทั้งหลายหาได้จากสูตรต่อไปนี้ คือ

          x = a² - b²,y = 2ab และ  z = a² + b² เมื่อ a และ b แทนจำนวนเต็ม เช่น ถ้าให้ a = 2 และ b = 1 เราจะได้คำตอบ (3,4,5) ถ้าให้ a = 3 และ b = 2  เราจะได้คำตอบ (5,12,13) ถ้าให้ a = 3 และ b = 1เราจะได้คำตอบ (8,6,10) เป็นต้น

         เรากล่าวได้ว่าสมการปีทาโกเรียนนั้น เราทราบคำตอบได้อย่างสมบูรณ์เพราะเรามีวิธีหาคำตอบทั้งหมดได้

         สมการไดโอแฟนทีนที่มีตัวแปร 2  ตัว และเป็นการเชิงเส้น เช่น 5x = 7y, 6x + 15y = 12  ฯลฯ เราทราบคำตอบได้อย่างสมบูรณ์ แต่สมการไดโอแฟนทีนส่วนใหญ่ยังไม่ทราบคำตอบอย่างสมบูรณ์ บางสมการยังไม่ทราบเลยด้วยซ้ำไปว่ามีคำตอบหรือไม่ เช่น สมการ xⁿ + yⁿ = zⁿ  เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มซึ่งมากกว่า 2 สมการนี้ไม่มีใครทราบเลยว่ามีคำตอบเป็นจำนวนเต็มบวกหรือไม่

         แฟร์มาต์* ทำนายไว้ว่า "สมการ xⁿ + yⁿ = zⁿ  ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็มบวก เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 2"  ข้อความนี้เขียนได้อีกอย่างหนึ่งว่า "ไม่ว่า x, y, z, n จะเป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ ก็ตาม ถ้า n มากกว่า 2 แล้ว จะได้ว่า xⁿ + yⁿ  zⁿ" ข้อความนี้เรียกกันว่า ทฤษฏีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ (Fermat's Last Theorem) ในระยะเวลา 300 กว่าปีที่ผ่านมานี้ นักคณิตศาสตร์หลายคนพยายามพิสูจน์ข้อความนี้ และมีผู้ค้นพบข้อความนี้เป็นข้อความจริงสำหรับหลายค่าของ n เช่น มีผู้พิสูจน์ได้ว่า "ไม่ว่า x,y,z,n จะเป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ ก็ตาม ถ้า n มากกว่า 2 และน้อยกว่า 100 แล้ว จะได้ว่า xⁿ + yⁿ    zⁿ" แต่จนบัดนี้ก็ยังไม่มีใครสามารถพิสูจน์ได้ว่า ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ เป็นข้อความจริงหรือเท็จ

        ความจริง ปัญหาคณิตศาสตร์ที่เกิดในชีวิตประจำวันมักจะไม่ใช่ปัญหาสมการ เช่น ถ้าเราต้องการซื้อของ เราก็มักจะใช้ซื้อจนเงินหมดกระเป๋า เพียงแต่ซื้อไม่ให้เกินเงินที่มีอยู่เท่านั้น เช่น มีเงิน 20 บาท จะซื้อส้มเขียนหวานราคากิโลกรัมละ 4 บาท เราอาจจะไม่ซื้อจนหมดเงิน เราอาจจะซื้อเพียง 1 กิโลกรัม หรือ 2 กิโลกรัมเท่านั้น แต่เราจะซื้อเกิน 5 กิโลกรัมไม่ได้ ถ้าสมมุติว่าซื้อ x  กิโลกรัม จะสิ้นเงิน 4x  บาท ถ้าซื้อจนหมดเงิน จะเขียนได้เป็นสมการ 4x = 20 แต่โดยปกติแล้วเราไม่จำเป็นต้องซื้อจนหมดเงิน เราจึงกำหนดเพียงว่า 4x ต้องไม่มากกว่า 20 หรือ 4x  น้อยกว่าหรือเท่ากับ 20  ซึ่งเขียนได้อีกอย่างหนึ่งว่า 4x    20

เครื่องหมายที่แสดงความไม่เท่ากันที่นิยมใช้กันมีดังต่อไปนี้
>     แทนคำว่า      มากกว่า
              "          มากกว่าหรือเท่ากับ
<            "          น้อยกว่า
              "          น้อยกว่าหรือเท่ากับ
             "         ไม่เท่ากับ

---

        * ไดโอแฟนทัสมีชีวิตอยู่ในสมัยประมาณ 250 ปี ก่อนคริสต์ศักราช เป็นชาวเมืองอเล็กซานเดรีย เราไม่ค่อยทราบรายละเอียดเกี่ยวกับชีวิตของเขามากนัก แต่อาจจะคำนวณอายุของเขาได้จากคำซึ่งเล่ากันต่อๆ มาดังนี้
            เขาเป็นเด็กอยู่ 1 ของอายุของเขา เป็นวัยรุ่นอยู่  1 ของอายุ เป็นชายโสดอยู่ 1  ของอายุ ลูกชายของเขาเกิดเมื่อเขาแต่งงานแล้ว 5 ปี ลูกชายตายก่อนเขา 4 ปี เขามีอายุยืนเป็น 2 เท่าของลูกชาย (คำตอบคือ 84 ปี)

       * ปีทาโกรัส เป็นนักปรัชญาและนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกมีชีวิตอยู่ระหว่างปี 582-507 ปีก่อนคริสต์ศักราช ทฤษฎีบทของเขาซึ่งเรารู้จักกันดี คือทฤษฎีบทในเรขาคณิตที่กล่าวว่ากำลังสองของความยาวด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ ย่อมเท่ากับผลบวกของกำลังสองของความยาวอีกสองด้าน

       *แฟร์มาต์ (ค.ศ. 1601-1665) เป็นชาวฝรั่งเศส อาชีพรับราชการ งานอดิเรกคือ คณิตศาสตร์ ถือได้ว่าเป็นคนหนึ่งที่ริเริ่มเรขาคณิตวิเคราะห์และแคลคูลัสแต่ปัจจุบันคนรู้จักเขามากจากผลงานของเขาเรื่องทฤษฎีของจำนวน (Theory of Numbers)
[กลับหัวข้อหลัก]