บทที่  1

บทนำ

 

ที่มาและความสำคัญของปัญหา

                  http://gotoknow.org  (ออนไลน์  :  2008 )  ได้กล่าวไว้ว่า  คณิตศาสตร์มีความสำคัญและสัมพันธ์กับชีวิตประจำวันอยู่ตลอดเวลา  เพราะเป็นวิชาที่บรูณาการกับอีกหลายๆ  สาขาวิชาเข้าด้วยกัน  ซึ่งเป็นการประยุกต์เพื่อนำไปใช้งานหรือใช้ในชีวิตจริง   เป็นดั่งสะพานที่เชื่อมโยงระหว่างโลกของคณิตกับโลกของความจริง   โดยจะเริ่มจากเรื่องง่ายๆ ไปสู่เรื่องยากๆ เพื่อผู้ที่ไม่มีพื้นความรู้ในคณิตศาสตร์  และผู้ที่ไม่รักวิชานี้จะได้เริ่มรู้เข้าใจว่าส่วนหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่แท้จริงนั้นเป็นอย่างไร   แล้วสามารถคิดเป็น  วิเคราะห์เป็น   สามารถนำความรู้ไปใช้ได้ในชีวิตจริง ไม่ใช่แค่ท่องไปจำไปเพื่อสอบ  เพราะการที่เรียนรู้คณิตศาสตร์นั้นส่วนหนึ่งจะเป็นการเรียนรู้เกี่ยวกับธรรมชาติ   สิ่งแวดล้อม   แล้วในขณะเดียวกันก็เป็นการเรียนรู้อดีต   ปัจจุบัน   และศึกษาแนวโน้มในอนาคต    สุดท้ายเมื่อรู้รอบพอควรแล้วก็ไม่พ้นกลับมาเรียนรู้ตนเอง  สิ่งที่สังเกตได้คนที่รักคณิตศาสตร์ส่วนหนึ่งจะรักที่จะเรียนรู้ปรัชญา   เรียนรู้ธรรม   แล้วส่วนหนึ่งจะเข้าใจว่าการเรียนคณิตศาสตร์เป็นเหมือนกับประตูหรือเครื่องมือที่พาเราไปสู่โลกการเรียนรู้แบบไม่มีที่สิ้นสุด และมีส่วนทำให้เราเป็นคนที่สมบูรณ์ขึ้น   โดยคณิตศาสตร์ในชีวิตประจำวันอาจแบ่งออกได้เป็นหลายแง่มุม   ดังนี้
                 1. ความหมายและพัฒนาการความคิดทางคณิตศาสตร์ 
                 -  ความหมายของคณิตศาสตร์
                 -  พัฒนาการความคิดทางคณิตศาสตร์
                 -  การพัฒนาทักษะกระบวนการแก้ปัญหา
                 2. คณิตศาสตร์กับตัวเลขและสัญลักษณ์  
                -  ความเป็นมาและความหมายของตัวเลขและสัญลักษณ์ที่น่าสนใจ
                 -  ตัวเลขและสัญลักษณ์ที่ใช้ในชีวิตประจำวัน
                 3.  คณิตศาสตร์กับปรากฏการณ์ธรรมชาติ  
                - ตัวอย่างปรากฏการณ์ธรรมชาติที่เกี่ยวข้องในมุมมองของคณิตศาสตร์  
                - หลักการและทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้อง
                - การศึกษาความสัมพันธ์และการหาคำตอบของปรากฏการณ์ธรรมชาติที่น่าสนใจ
                - ปรากฏการณ์ธรรมชาติ และสิ่งก่อสร้างที่เกี่ยวกับสัดส่วนทองคำ (Golden ratio)

                 4.  คณิตศาสตร์กับศิลปะและความงาม 
                 - ความสวยงามในมุมมองของคณิตศาสตร์  (Heart curve ,  Fractal , Golden ratio, …)
                  - เรขาคณิตกับศิลป ( Origami , Tangram , …)
                  - ตัวอย่างการออกแบบลวดลาย (Patterns, Tilings, Tessellations, ลายไทย, การออกแบบ ลวดลายผ้า, การปักครอสติส,การร้อยลูกปัด, ...)
                  - ตัวอย่างการออกแบบโครงสร้าง (โครงสร้างอาคาร, แผนที่,  เขาวงกต,  ...)
                  - ความสวยงามของผลึก/โครงสร้างอะตอม
                 5 .  คณิตศาสตร์กับเทคโนโลยี 
                  - ระบบเลขฐานกับเทคโนโลยี
                  - จากลูกคิดสู่คอมพิวเตอร์
                  - Discrete mathematics 
                  - Fuzzy logic กับเทคโนโลยี 
                  - คอมพิวเตอร์กราฟฟิก / เกม กับคณิตศาสตร์
                  - รหัสผ่านและการเข้ารหัสถอดรหัส 
                  - การประมวลผลภาพ ในมุมมองของคณิตศาสตร์ 
                  - การอ่านลายนิ้วมือ หรือ ม่านตา ที่เกี่ยวกับ คณิตศาสตร์
                  - ไวรัสคอมพิวเตอร์ กับ คณิตศาสตร์
                  - ภาพถ่ายดาวเทียม,  ความรู้เกี่ยวกับแผนที่เบื้องต้น, ระบบสารสนเทศภูมิศาสตร์ (Geographic Information System, GIS)
                   - รหัสพันธุกรรม
                 6.  คณิตศาสตร์กับการแก้ปัญหาและตัดสินใจในชีวิตประจำวัน  
                  - มาตรา การชั่ง ตวง วัด
                  - ดัชนีมวลกาย และ การหาพื้นที่ผิวของร่างกาย
                  - การคิดค่าสาธารณูปโภค (ค่าน้ำ, ค่าไฟ)
                  - การเสียภาษีรายได้
                  - การฝากเงิน การกู้เงิน ดอกเบี้ย 
                  - คณิตศาสตร์ กับ เกม / การพนัน / การเสี่ยงโชค
                  - คลื่นเสียง กับ คณิตศาสตร์
                  - ดนตรี กับ คณิตศาสตร์
                  - ทักษะในการคิดเลขเร็ว   (คณิตศาสตร์กับลูกคิด, Vedic Mathematics,…)
                 7.  คณิตศาสตร์กับศาสนาและความเชื่อ  
                  - คณิตศาสตร์ในศาสนาหรือนิกายต่างๆ 
                 - ความเชื่อและสัญลักษณ์ที่เกี่ยวกับคณิตศาสตร์ ( Mandala , หยินหยาง, โป๊ยก่วย. ยันต์)   
                 - คณิตศาสตร์ สถิติ ความน่าจะเป็นกับการพยากรณ์ (โหราศาสตร์, อี้จิง, เซียมซี,  Numerology, …) 
                 - เรียนรู้บุคลิกภาพ/เรียนรู้ใจตนเอง จากตัวเลข
                8.  แนวคิดเบื้องต้นเกี่ยวกับแบบจำลองทางคณิตศาสตร์
                 - ประเภทของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์
                 - การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์
                 - ตัวอย่างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์
                 - การประยุกต์ใช้แบบจำลองทางคณิตศาสตร์

                http://web.ku.ac.th  (ออนไลน์ : 2008)  ยังได้อธิบายไว้ว่า  คณิตศาสตร์ในชีวิตประจำวัน     น่าจะหมายถึง   การใช้วิธีการคำนวณทางคณิตศาสตร์ในการแก้ไขปัญหาบางประการในชีวิตประจำวัน   เช่น   ถ้าจะเดินทางจากจังหวัดแพร่มากรุงเทพฯ อยากจะทราบว่า ค่าใช้จ่ายในการเดินทางโดยทางรถไฟ  กับรถยนต์โดยสารปรับอากาศ เมื่อรวมค่ารถรับจ้างจากสถานีรถไฟ หรือสถานีขนส่งสายเหนือที่นักเรียนจะต้องจ่ายแล้ว ควรจะเลือกเดินทางด้วยวิธีใดดี ปัญหาที่กล่าวมานี้ใช้การบวกในการแก้ปัญหา    

                 จากลักษณะของรายวิชาคณิตศาสตร์ดังกล่าว  คณะผู้จัดทำโครงงานได้เล็งเห็นถึงความสำคัญของการนำคณิตศาสตร์มาใช้ในการแก้ปัญหาที่เกิดขึ้นในชีวิตประจำวัน  จึงได้ร่วมกันปรึกษาหารือภายในกลุ่มในการเลือกปัญหาที่เกิดขึ้นในชีวิตประจำวัน   และผลการศึกษาโครงงานนั้นจะต้องสามารถไปใช้ได้จริง   ซึ่งปัญหาที่กลุ่มได้เลือกมานั้นคือถ้าต้องการคัดเลือกตัวนักกีฑาประเภทกระโดดสูง  และกระโดดไกล   ลักษณะทางกายของตัวนักกีฑาจะต้องเป็นเช่นไรจึงจะสามารถกระโดดได้สูง  และลักษณะทางกายของตัวนักกีฑาจะต้องเป็นเช่นไรจึงจะสามารถกระโดดได้ไกล   ซึ่งการวิเคราะห์ผลการศึกษานี้จะใช้กราฟเส้นตรงที่ทางผู้จัดทำโครงงานได้เขียนกราฟขึ้นมาโดยใช้ข้อมูลจากผลการทดลองของนักเรียนจำนวน  30  คน   และนำกราฟแสดงเกณฑ์การเจริญเติบโตของกรมอนามัยเป็นเกณฑ์มาตรฐานในการวิเคราะห์ผลการศึกษา   จากผลการศึกษาของปัญหานี้สามารถนำไปใช้ประโยชน์กับรายวิชาพละศึกษาในการคัดเลือกตัวนักกีฑาประเภทกระโดดสูง  และกระโดดไกลได้ 

                  ดังนั้น  คณะผู้จัดทำโครงงานจึงมีความสนใจที่จะแก้ปัญหานี้  เพื่อนำผลของการศึกษาไปใช้ประโยชน์กับรายวิชาพละศึกษาในการคัดเลือกตัวนักกีฑาประเภทกระโดดสูง  และกระโดดไกลได้จริงๆ 

 

วัตถุประสงค์ของการทำโครงงาน

                    2.1  เพื่อเขียนกราฟเส้นตรงและหาสมการเส้นตรงจากกราฟแสดงความสัมพันธ์ระหว่างการกระโดดสูง  และกระโดดไกลได้อย่างเหมาะสม  ถูกต้องตามหลักทฤษฎี

                 2.2  เพื่อวิเคราะห์ลักษณะทางกายที่มีผลต่อการกระโดดไกลและกระโดดสูงของนักเรียนโดยใช้กราฟ

 

สมมติฐานของการทำโครงงาน

                   3.1  กราฟเส้นตรงและสมการเส้นตรงจากกราฟแสดงความสัมพันธ์ระหว่างการกระโดดสูง  และกระโดดไกลมีความเหมาะสม  ถูกต้องตามหลักทฤษฎี

                 3.2  นักเรียนที่มีลักษณะทางกายโดยมีส่วนสูงตามเกณฑ์  น้ำหนักตัวตามเกณฑ์จะกระโดดได้ไกล

                   3.3  นักเรียนที่มีลักษณะทางกายโดยมีส่วนสูงตามเกณฑ์   จะกระโดดได้สูง

 

ขอบเขตของการทำโครงงาน

                  1.  ประชากร ได้แก่ นักเรียนโรงเรียนคลองลานพัฒนาจินดาศักดิ์  สำนักงานเขตพื้นที่การศึกษากำแพงเพชร  เขต 2  จำนวน  30  คน

                2.  กลุ่มตัวอย่าง ได้แก่ นักเรียนโรงเรียนคลองลานพัฒนาจินดาศักดิ์  สำนักงานเขตพื้นที่การศึกษากำแพงเพชร  เขต 2  จำนวน  30  คน

                3.  ตัวแปรที่ศึกษา

                     3.1  ตามวัตถุประสงข้อที่  1  ตัวแปรที่ศึกษาได้แก่  คือ 

                                3.1.1  ตัวแปรอิสระ  ได้แก่

                                       3.1.1.1  การกระโดดสูง 

                                       3.1.1.2  การกระโดดไกล  

                         3.1.2  ตัวแปรตาม  ได้แก่

                                       3.1.2.1   กราฟเส้นตรง 

                                   3.1.2.2   สมการเส้นตรง

                     3.2  ตามวัตถุประสงข้อที่  2  ตัวแปรที่ศึกษาได้แก่  คือ 

                                3.2.1  ตัวแปรอิสระ  ได้แก่

                                       3.2.1.1  ลักษณะทางกาย

                         3.2.2  ตัวแปรตาม  ได้แก่

                                       3.2.2.1  การกระโดดไกล 

                                       3.2.2.2  การกระโดดสูง

 

5.   ข้อตกลงเบื้องต้น

                5.1  กลุ่มนักเรียนที่กระโดดสูงและกระโดดไกลเป็นกลุ่มเดียวกัน

 

6.   ประโยชน์ที่ได้รับจากการวิจัย

                   6.1  ได้กราฟเส้นตรงและสมการเส้นตรงจากกราฟแสดงความสัมพันธ์ระหว่างการกระโดดสูง  และกระโดดไกลโดยกราฟที่ได้มีความเหมาะสม  ถูกต้องตามหลักทฤษฎี

                 6.2   จากผลของการศึกษาสามารถนำผลไปใช้ประโยชน์ในการคัดเลือกตัวนักกีฑาประเภทกระโดดสูง  และกระโดดไกลได้ 

                 6.3  เป็นแนวทางในการวิจัยเพื่อการคัดเลือกตัวนักกีฬา  และกรีฑาในกลุ่มวิชาพลศึกษา โดยใช้กราฟ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

บทที่  2

เอกสาร  และงานวิจัยที่เกี่ยวข้อง

 

                  การจัดทำโครงงานคณิตศาสตร์เรื่อง  “กราฟเส้นตรงกับกระโดด”  ของนักเรียนโรงเรียนคลองลานพัฒนาจินดาศักดิ์  สังกัดสำนักงานเขตพื้นที่การศึกษากำแพงเพชร  เขต 2  คณะผู้จัดทำโครงงานได้ศึกษาค้นคว้าจากตำรา  เอกสาร และสืบค้นข้อมูลจากอินเตอร์เน็ตที่เกี่ยวข้องกับกราฟเส้นตรงและสมการเส้นตรง  โดยนำรายละเอียดตามลำดับ  ดังต่อไปนี้

                  1.   สมการเส้นตรงและกราฟเส้นตรง

                        1.1  ระบบพิกัดฉาก

                        1.2  คู่อันดับ

                        1.3  ความชันของเส้นตรง

                        1.4  สมการของเส้นตรง

 

สมการเส้นตรงและกราฟเส้นตรง

                1.  ระบบพิกัดฉาก (Rectangular Coordinate System)

เส้นจำนวนจริง (real number line)   ซึ่งเรียกสั้น ๆ กันว่า เส้นจำนวน ดังรูปที่ 3.1

 

                                         -3      -2      -1       0        1        2       3        4

รูป 3.1

                เมื่อนำเส้นจำนวนจริงสองเส้นมาตัดกันเป็นมุมฉากแล้วเรียกว่า ระนาบ (plane) หรือ ระบบ พิกัดฉาก (Rectangular Coordinate System or Cartesian Plane) จุดที่ทั้งสองเส้นตัดกันที่จุด o และเรียกว่า จุดกำเนิด (origin) เรียกเส้นจำนวนจริงในแนวนอนว่า แกน x (x-axis) และเส้นจำนวนในแนวตั้งว่า แกน y (y-axis) แกนทั้งสองแบ่งระนาบออกเป็นสี่บริเวณ เรียกว่า จตุภาค (quadrant) ให้บริเวณขวาบนเป็นจตุภาคที่หนึ่ง ส่วนจตุภาคลำดับต่อไปกำหนดโดยการนับทวน เข็มนาฬิกา       ดังรูป 3.2 

 

รูป 3.2

เราเรียกจุดแต่ละจุดบนระนาบซึ่งแทนด้วยคู่อันดับ (x,y) ของจำนวนจริง x และ y ว่า จุดพิกัด (coordinate) หรือ คู่อันดับ (ordered pair) จำนวนแรก ของคู่อันดับหรือพิกัด x (x-coordinate) บอกระยะจากจุดกำเนิดไปทางซ้าย (-) หรือขวา (+) เป็นระยะ |x| หน่วย และ จำนวนที่สองของคู่อันดับหรือพิกัด y (y-coordinate) บอกระยะ จากจุดกำเนิดไปข้างบน (+)หรือ ลงข้างล่าง (-) เป็นระยะ |y| หน่วย ตัวอย่างต่อไป จะช่วยให้เข้าใจยิ่งขึ้น

 ตัวอย่าง 3.1  จงลงจุด (-2,1), (4,0), (3,-1), (4,3), (0,0) และ (-1,-3) บนระบบพิกัดฉาก

                วิธีทำ      จุด (-2,1) มีระยะห่างจากจุดกำเนิดไปทางซ้ายสองหน่วยและอยู่เหนือแกน x เป็นระยะหนึ่งหน่วย เป็นต้น

รูป 3.3

o

                2.  คู่อันดับแทนผลเฉลย (Ordered Pairs as Solutions)

                โดยทั่วไปแล้วในชีวิตประจำวันเรามักพบเห็นข้อมูลที่มีความสัมพันธ์ระหว่างกัน เช่น ข้อมูลแสดงจำนวนประชากรในแต่ละปีเป็นตัวอย่างหนึ่งที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างจำนวน ประชากรและปีที่สำรวจ  ซึ่งส่วนใหญ่แสดงข้อมูลไว้ในรูปของตาราง ส่วนในทางคณิตศาสตร์ ความสัมพันธ์ระหว่าง x และ y ถ้าหากค่า y ขึ้นอยู่กับค่า x เรียก y ว่า ตัวแปรตาม (dependent variable) และ เรียก x ว่า ตัวแปรอิสระ (independent variable) และเรียก y ว่าเป็นสมการของตัว แปร x และจากความสัมพันธ์ในรูปของสมการสามารถนำมาสร้างตารางข้อมูลได้  ก่อนอื่น เราลองพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้เพื่อให้เกิดความเข้าใจที่ดีขึ้นในความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปร x และ y ในรูปของคู่อันดับ (x, y) นั่นคือค่า x และ y สอดคล้องกับสมการที่กำหนด และเรียกคู่อันดับ (x, y) ว่า จุดผลเฉลย (solution point) ของสมการ

เมื่อกำหนดคู่อันดับต่าง ๆ มาให้ และให้พิจารณาว่า คู่อันดับใดเป็นจุดผลเฉลยของ สมการ เราสามารถตรวจสอบได้โดยการแทนค่า x และ y ของคู่ อันดับลงไปในสมการ หากคู่อันดับใดที่ทำให้สมการเป็นจริงจะได้ว่าคู่อันดับนั้นเป็นจุดผลเฉลยของสมการดัง กล่าว

 

ตัวอย่าง 3.2          จงพิจารณาว่าคู่อันดับใดเป็นจุดผลเฉลยของสมการ y = 10x – 7

ก.  (1,3)                                ข.  (2,10)                              ค.  (-2,-27)                          ง.  (-1,5)

  วิธีทำ   ก.  สำหรับคู่อันดับ (1,3) เราแทน  x = 1  ทางซ้ายของสมการจะได้

                                ดังนั้น (1,3) เป็นจุดผลเฉลยของสมการ y = 10x – 7

                ข.  สำหรับคู่อันดับ (2,10) เราแทน  x = 2  ทางซ้ายของสมการจะได้

                                ดังนั้น (2,10) ไม่เป็นจุดผลเฉลยของสมการ y = 10x – 7

                ค. สำหรับคู่อันดับ (-2,-27) เราแทน  x = -2  ทางซ้ายของสมการจะได้

                                ดังนั้น (-2,-27) เป็นจุดผลเฉลยของสมการ y = 10x – 7

                ง. สำหรับคู่อันดับ (-1,5) เราแทน  x = -1  ทางซ้ายของสมการจะได้

                                ดังนั้น (-1,5) ไม่เป็นจุดผลเฉลยของสมการ y = 10x – 7                                           o

 

ตัวอย่างต่อไปเป็นการสร้าง ตารางจุดผลเฉลย (table of solution points) จากสมการที่กำหนดให้

 

ตัวอย่าง 3.3          จงสร้างตารางแสดงค่าสำหรับสมการ y = 3x + 2 แล้วลงจุดพิกัดหรือจุดผลเฉลย ที่ได้บนระบบพิกัดฉาก  โดยกำหนดให้ค่าของ x เป็น -3, -2, -1, 0, 1, 2  และ 3

                วิธีทำ     ก่อนอื่นเราต้องคำนวณค่า y ที่สอดคล้องกับค่า x  แต่ละค่าที่กำหนดให้ ตัวอย่างเช่น ถ้าเราให้ x = 1 แล้ว y = 3(1) + 2 = 5              คู่อันดับ (x,y) = (1,5) เป็นจุดผลเฉลยหนึ่งของสมการที่ กำหนดให้