ค้นหาทุกอย่างในเว็บครูบ้านนอก :
ชุมชนครู บุคลากรทางการศึกษา และนักเรียน แหล่งความรู้สำหรับครู นักเรียน ข่าวการศึกษา ห้องสมุดความรู้ทุกกลุ่มสาระการเรียนรู้ และความรู้ทั่วไป เผยแพร่ผลงานวิชาการ ที่นี่


ค้นหากระทู้
ตั้งกระทู้คำถามใหม่ กลับหน้าที่แล้ว
 
• อันดับ จำนวนเชิงการนับ จำนวนเชิงอันดับ

อันดับ จำนวนเชิงการนับ จำนวนเชิงอันดับ


จัดทำโดย
นายธนกฤต ควรคำนึง และคณะ


เสนอ
อ.วิภาวดี มูลไชยสุข


เอกสารเล่มนี้เป็นส่วนหนึ่งของรายวิชา 4093201 ทฤษฎีเซต
ภาคเรียนที่ 1 ปีการศึกษา 2554
มหาวิทยาลัยราชภัฏสุรินทร์


อันดับ จำนวนเชิงการนับ จำนวนเชิงอันดับ

คณะผู้จัดทำ
นายธนกฤต ควรคำนึง รหัสนักศึกษา 52191400221
นางสาวประภาศิริ พุ่มเพชร รหัสนักศึกษา 52191400222
นางสาวปรัชญาพร พอใจ รหัสนักศึกษา 52191400223
นางพงษพัศ ไพรงาม รหัสนักศึกษา 52191400224
นางสาวพจนีย์ ชะมังรัมย์ รหัสนักศึกษา 52191400226
นางสาวพรพิมล วงศ์เลิศ รหัสนักศึกษา 52191400228
นางสาวพรรณิภา สัญญารัตน์ รหัสนักศึกษา 52191400229
นางสาวพัชราวรรณ บุญราช รหัสนักศึกษา 52191400230
นางสาวพัชรี มีชัย รหัสนักศึกษา 52191400231
นางสาวลัดดารัตน์ แจ่มศรี รหัสนักศึกษา 52191400223
คณิตศาสตร์ คบ. 5/3 ห้อง 2

เสนอ
อ.วิภาวดี มูลไชยสุข

คำนำ
หนังสือเล่มนี้เป็นส่วนหนึ่งของรายวิชา 4093201 ทฤษฎีเซต ซึ่งเป็นหนังสือที่เรียบเรียงขึ้นเพื่อให้นักศึกษาได้ใช้อ่านเพื่อประกอบการเรียนรู้ในรายวิชาทฤษฎีเซต และเป็นการเพิ่มทักษะให้นักศึกษาได้รู้จักการค้นคว้าหาความรู้ด้วยตัวเอง และนำสิ่งที่ได้จากการค้นคว้านั้นมาเรียบเรียงเป็นหนังสือเพื่อให้เป็นประโยชน์ต่อทั้งตนเอง นักศึกษา และบุคคลอื่นๆที่สนใจในเรื่องทฤษฎีเซต
หนังสือเล่มนี้ประกอบไปด้วยเนื้อหาเรื่องอันดับ (Order) จำนวนเชิงการนับ ( Cardinal Number) และจำนวนเชิงอันดับ(Ordinal Number) คณะผู้จัดทำหวังเป็นอย่างยิ่งว่าผู้ที่ได้อ่านและศึกษาหนังสือเล่มนี้แล้ว จะได้รับความรู้และเกิดความเข้าใจในเรื่องดังกล่าวไม่มากก็น้อย หากมีข้อผิดพลาดประการใด คณะผู้จัดทำขออภัยมา ณ ที่นี้ด้วย
ขอขอบคุณ อ.วิภาวดี มูลไชยสุข ที่ได้ให้คำปรึกษาและการแนะนำที่ดีจนทำให้หนังสือเล่มนี้เสร็จสมบูรณ์


คณะผู้จัดทำ
28 มิถุนายน 2554










สารบัญ

เรื่อง หน้า
คำนำ ก
สารบัญ ข
อันดับ (Order) 1
เซตอันดับบางส่วน 1
เซตอันดับทั้งหมดหรือเซตอันดับเชิงเส้น 3
สมาชิกแรกและสมาชิกสุดท้าย 5
สมาชิกมินิมัลและสมาชิกแมกซิมัล 6
ขอบเขตล่างและขอบเขตบน 6
เซตอันดับดี 8
จำนวนเชิงการนับ( Cardinal Number) 18
เซตเทียบเท่า 19
เซตจำกัดและเซตอนันต์ 20
ความหมายของจำนวนเชิงการนับ 23
การบวกและการคูณจำนวนเชิงการนับ 26
จำนวนเชิงอันดับ(Ordinal Number) 31
การบวกและการคูณจำนวนเชิงอันดับ 36
ภาคผนวก
บรรณานุกรม



อันดับ (Order)
จากการศึกษาเรื่องเซตกับความสัมพันธ์ เราได้ศึกษาความสัมพันธ์จากเซตหนึ่งไปอีกเซตหนึ่งหรือความสัมพันธ์ในเซตที่กำหนด และได้ศึกษาถึงความสัมพันธ์ที่มีสมบัติเฉพาะ เช่น ความสัมพันธ์ที่เป็นฟังก์ชัน ความสัมพันธ์สมมูล ในที่นี้จะกล่าวถึงเซตกับความสัมพันธ์ที่มีสมบัติเฉพาะ ที่จะนำไปสู่การศึกษาการจัดเรียงอันดับของสมาชิกว่าสมาชิกใดมาก่อนหลัง ซึ่งต่อไปจะเรียกเซตที่มีสมบัติเฉพาะนี้ว่า เซตอันดับ(order set) และยังแบ่งเซตอันดับออกเป็น เซตอันดับบางส่วน( partially ordered set ) เซตอันดับทั้งหมดหรือเซตอันดับเชิงเส้น(Totally ordered Set or Linear ordered Set ) สมาชิกแรกและสมาชิกสุดท้าย (First and Last elements) สมาชิกมินิมัลและสมาชิกแมกซิมัล(minimal and maximal elements) ขอบเขตล่างและขอบเขตบน ( Lower bound and Upper bound ) และเซตอันดับดี(Well ordering set)
1.เซตอันดับบางส่วน ( partially ordered set )
บทนิยาม 1.1 ให้ r เป็นความสัมพันธ์ในเซต A r เป็นความสัมพันธ์ปฏิสมมาตร(antisymmetric) ในเซต A ก็ต่อเมื่อ ถ้า (x,y)∈r∧(y,x)∈r แล้ว x = y
บทนิยาม 1.2 ให้ r เป็นความสัมพันธ์ในเซต A r เป็นความสัมพันธ์อันดับบางส่วน
(partial order) ในเซต A ก็ต่อเมื่อ r เป็นความสัมพันธ์สะท้อน ปฏิสมมาตร
และถ่ายทอด
จากบทนิยาม 1.2 r เป็นความสัมพันธ์ในเซต A r เป็นความสัมพันธ์อันดับบางส่วนในเซต A ก็ต่อเมื่อ
(x,y)∈r,∀x∈r (r เป็นความสัมพันธ์สะท้อน)
(x,y)∈r∧(y,x)∈r→x=y (r เป็นความสัมพันธ์ปฏิสมมาตร)
(x,y)∈r∧(y,z)∈r→(x,z)∈r (r เป็นความสัมพันธ์ถ่ายทอด)
ตัวอย่าง 1.1 กำหนดเซต A = {1,2,3}
S3 = {(1,1),(3,3),(1,2),(2,2)}
จะได้ว่า S3 เป็นการลำดับบางส่วนใน A
เพราะว่า S3 เป็นความสัมพันธ์สะท้อน ปฏิสมมาตร และถ่ายทอด
ตัวอย่าง 1.2 กำหนด T เป็นความสัมพันธ์ “มากกว่า” ในเซตของจำนวนเต็มจะได้ T ไม่เป็นความสัมพันธ์สะท้อน ดังนั้น T จึงไม่เป็นการลำดับบางส่วนใน I
ตัวอย่าง 1.3 กำหนดให้ A = {1,2,3} และ
r_(1 )= {(1,1),(2,2),(3,3),(1,3)} ,
〖 r〗_(2 )= {(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)} ,
〖 r〗_(3 )= {(1,1),(2,2),(1,2) } ,
〖 r〗_(4 )= {(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3)}
ความสัมพันธ์ใดเป็นอันดับบางส่วนใน A
วิธีทำ จะได้ว่า 〖 r〗_(1 ), 〖 r〗_2 〖 ,r〗_(3 ) 〖 ,r〗_4 เป็นความสัมพันธ์ในเซต A
〖 r〗_1 เป็นอันดับบางส่วน เพราะว่า r_1ป็นความสัมพันธ์สะท้อน ปฏิสมมาตร และ
ถ่ายทอด
〖 r〗_2 ไม่เป็นอันดับบางส่วน เพราะว่า 〖 r〗_2 ไม่เป็นความสัมพันธ์ปฏิสมมาตร มี
(1,2) ∈ 〖 r〗_2∧ (2,1) ∈ 〖 r〗_2→1≠2
〖 r〗_(3 )ไม่เป็นอันดับบางส่วน เพราะว่า 〖 r〗_3 ไม่เป็นความสัมพันธ์สะท้อน (3,3) ∉ 〖 r〗_3
〖 r〗_(4 )ไม่เป็นอันดับบางส่วน เพราะว่า 〖 r〗_4 ไม่เป็นความสัมพันธ์ถ่ายทอด คือ (1,2) ∈ 〖 r〗_4∧ (2,3) ∈ 〖 r〗_4→ (1,3) ∉ 〖 r〗_4
บทนิยาม 1.3 ให้ r เป็นอันดับบางส่วน ใน X เรียก X ว่า เซตอันดับบางส่วน (partially ordered set) โดยความสัมพันธ์ r
ข้อตกลง (1) อาจเรียกว่า (X,r) เป็นเซตอันดับบางส่วน ซึ่งหมายถึง X เป็นเซตอันดับบางส่วน โดยความสัมพันธ์ r หรืออาจเขียนว่า X เป็นเซตอันดับบางส่วน ซึ่งหมายถึง X เป็นเซตอันดับบางส่วนโดยความสัมพันธ์ ใดความสัมพันธ์หนึ่งที่เป็นอันดับบางส่วนใน X
(2) ใช้สัญลักษณ์ ≤ แทนความสัมพันธ์ r เมื่อเขียน (x,≤) หมายความว่า ≤ เป็นความสัมพันธ์ในเซต X โดยที่ X อาจไม่ใช่เซตของจำนวน ถ้า X เป็นเซตของจำนวน ≤ หมายถึงความสัมพันธ์ “น้อยกว่าหรือเท่ากับ”
(3) ใช้สัญลักษณ์ a&#8804;b หรือ arb แทน (a,b)&#8712;r หมายถึง a มาก่อน b หรือ a=b และตกลงเขียน a<b แทน (a,b)&#8712;r แต่ a&#8800;bและอ่าน a<b ว่า a มาก่อน b ดังนั้นถ้า (x,&#8804;) เป็นเซตอันดับบางส่วนจะได้ว่า
1. a&#8804;b,&#8704;a&#8712;X (ความสัมพันธ์สะท้อน)
2. a&#8804;b&#8743;b&#8804;a&#8594;a=b (ความสัมพันธ์ปฏิสมมาตร)
3. a&#8804;b&#8743;b&#8804;c&#8594;a&#8804;c (ความสัมพันธ์ถ่ายทอด)
ตัวอย่าง 1.4 (P(A),&#8838;) เป็นเซตที่ลำดับได้บางส่วน ซึ่งหมายถึง P(A)
ลำดับได้บางส่วนโดย&#8838;
บทนิยาม 1.4 กำหนดให้ A เป็นเซตที่ลำดับได้บางส่วนโดย R สมาชิก x และ y ของเซต A สามารถเปรียบเทียบกันได้ (comparable) ก็ต่อเมื่อ xry หรือ yrx
2.เซตอันดับทั้งหมดหรือเซตอันดับเชิงเส้น(Totally ordered Set or Linear ordered Set )
บทนิยาม 2.1 เซต R เป็นการลำดับทั้งหมด (total ordering) ในเซต A ก็ต่อเมื่อ R เป็นการลำดับบางส่วนในเซต A และสมาชิกสองตัวใดๆ ของ A สามารถเปรียบเทียบกันได้ และเซต A กับ R ที่เป็นการลำดับทั้งหมดในเซต A เราเรียกว่า A เป็นเซตที่ลำดับได้ทั้งหมด (totally ordered set)โดย R
ตัวอย่าง 2.1 P(A)={&#8709;,{a},{b},{a,b}}
จะเห็นได้ว่า {a}&#8840;{b} และ {b}&#8840;{a}
ดังนั้น &#8838; ไม่เป็นการลำดับทั้งหมด และ P(A) ไม่เป็นเซตที่ลำดับได้ทั้งหมดโดย&#8838; หรือเขียนรวมกันเป็น (P(A),&#8838; )ไม่เป็นเซตลำดับได้ทั้งหมด
แต่ถ้าให้ B={&#8709;,{a},{a,b}}
จะเห็นได้ว่า สมาชิก &#8709;,{a} เราทราบว่า &#8709;&#8838;{a}
สมาชิก &#8709;,{a,b}เราทราบว่า &#8709;&#8838;{a,b}
สมาชิก {a},{a,b}เราทราบว่า {a}&#8838;{a,b}
นั่นคือ สมาชิกสองตัวใดๆของB สามารถเปรียบเทียบกันได้ และ&#8838;เป็นการลำดับบางส่วนใน B มาก่อน ดังนั้น {B,&#8838;}เป็นเซตที่ลำดับได้ทั้งหมด
บทนิยาม 2.2 กำหนดให้ A เป็นเซตที่ลำดับได้บางส่วน และ B เป็นเซตย่อยของเซต A โดยที่สมาชิกสองตัวใดๆ ของเซต B สามารถเปรียบเทียบกันได้ เราเรียกว่า B เป็นเซตย่อยที่ลำดับได้ทั้งหมดของเซต A หรือ B เป็นลูกโซ่(chain) ของเซต A
ตัวอย่าง 2.2 ถ้า A ={x , y}
เราได้ P(A)={&#8709;,{x},{y},{x,y}}
ถ้าให้ B={&#8709;,{x}}
C={&#8709;,{y}}
D={&#8709;,{x},{x,y}}
E={{x},{y}}
F={{x},{y},{x,y}}
จะเห็นได้ว่า B,C และ D ต่างก็เป็นลูกโซ่ของ (P(A),&#8838;)
แต่ E และF แต่ละเซต ไม่เป็นลูกโซ่ของ (P(A),&#8838;)
ตัวอย่าง 2.3 ให้ B = {1}
ดังนั้น P(B) = {&#8709; ,B)
จะได้ &#8838; เป็นการลำดับทั้งหมดใน P(B)
ดังนั้น (P(B),&#8838; )เป็นโซ่
ตัวอย่าง 2.4 ให้ C เป็นเซตของจำนวนเชิงซ้อน และ &#8804; คือความสัมพันธ์ “น้อยกว่าหรือเท่ากับ” ใน C
พิจารณา i,l &#8712; C จะพบว่า i &#8816; l, i &#8800; l และ l &#8816; i
ดังนั้น(C,&#8804;) ไม่เป็นโซ่
บทนิยาม 2.3 ให้ r เป็นอันดับเชิงเส้นในเซต X เรียก X ว่าเซตอันดับเชิงเส้น (linearly ordered set) โดยความสัมพันธ์ r
หมายเหตุ (1) อาจเขียน (X,r)เป็นเซตอันดับเชิงเส้น หมายถึง X ว่าเซตอันดับเชิงเส้น โดยความสัมพันธ์ r หรือ อาจเขียน X เป็นเซตอันดับเชิงเส้น หมายถึง X ว่าเซตอันดับเชิงเส้น โดยความสัมพันธ์ใดความสัมพันธ์หนึ่งที่เป็นเซตอันดับเชิงเส้นใน X
(2) เซตอันดับเชิงเส้นอาจเรียกว่า เซตอันดับทุกส่วน(totally order set)

3. สมาชิกแรกและสมาชิกสุดท้าย (First and Last elements)
บทนิยาม 3.1 กำหนด (A,r) เป็นเซตที่ลำดับได้บางส่วน
ถ้า a &#8712; A มีคุณสมบัติว่า &#8704; x &#8712; A ; arx เรียก a ว่าสมาชิกแรก (first or least or smallest element)
ถ้า b &#8712; A มีคุณสมบัติว่า &#8704; x &#8712; A ; xrb เรียก b ว่าสมาชิกสุดท้าย (last or greatest or largest lelment)
ตัวอย่าง 3.1 (I+ , &#8804;) มีสมาชิกแรก คือ 1 แต่ไม่มีสมาชิกสุดท้าย
, &#8804;) ไม่มีสมาชิกแรก มีสมาชิกสุดท้าย คือ-1
(I , &#8804;) ไม่มีทั้งสมาชิกแรกและสมาชิกสุดท้าย
ตัวอย่าง 3.2 กำหนด A = {1,2}
ดังนั้น P(A) = {&#8709;,{1},{2},A)
(P(A) , &#8838;) มีสมาชิกแรก คือ &#8709; และสมาชิกสุดท้ายคือ A
ตัวอย่าง 3.3 ถ้า P (A) = {&#8709;,{a},{b},{a,b} }
จะเห็นได้ว่า &#8709;&#8838; {a},&#8709;&#8838; {b} และ &#8709;&#8838; {a,b}
ดังนั้น &#8709; เป็นสมาชิกแรกของ P (A)
และจะได้ว่า {a,b} เป็นสมาชิกสุดท้ายของ P (A)

ทฤษฎีบท 3.1 (A,r) มีสมาชิกแรกแล้ว จะมีได้เพียงตัวเดียวเท่านั้น
พิสูจน์ ให้ a1 และ a2 เป็นสมาชิกแรกของ (A,r)
ดังนั้นจากนิยาม 3.1
ถ้า a1 &#8712; A จะได้ a1 rx สำหรับทุกๆตัวของ x &#8712; A ……(1)
ถ้า a2 &#8712; A จะได้ a2 rx สำหรับทุกๆตัวของ x &#8712; A …...(2)
เนื่องจาก a2 &#8712; A ดังนั้น จาก(1) จะได้ a1 ra2
และเนื่องจาก a1 &#8712; A ดังนั้น จาก(2) จะได้ a2 ra1
เนื่องจาก r เป็นความสัมพันธ์ปฏิสมมาตร
ดังนั้น a1 = a2
4.สมาชิกมินิมัลและสมาชิกแมกซิมัล(minimal and maximal elements)
บทนิยาม 4.1 กำหนด (A,r) เป็นเซตที่ลำดับได้บางส่วน
ถ้า a &#8712; A มีคุณสมบัติ ถ้า x &#8712; A ซึ่ง xra จะได้ x = a เรียก a ว่า สมาชิกมินิมัล (minimal elements)
ถ้า b &#8712; A มีคุณสมบัติว่า ถ้า x &#8712; A ซึ่ง brx จะได้ b = x เรียก b ว่าสมาชิกแมกซิมัล (maximal element )
ตัวอย่าง 4.1 ให้ A = {{a},{b},{a,b} }
จะได้ว่า (A,&#8838;) มีสมาชิกมินิมัลสองตัว คือ {a},{b} และสมาชิกแมกซิมัลอีกหนึ่งตัว คือ {a,b}
ทฤษฎีบท 4.1 ถ้า a เป็นสมาชิกแรกของ (A,r) จะได้ว่า a เป็นสมาชิกมินิมัล(minimal elements)
พิสูจน์ เพราะว่า a เป็นสมาชิกแรก ดังนั้น arx ; &#8704;x &#8712;A
สมมุติว่า x &#8712;A ซึ่ง xra ดังนั้น xra และ arx
โดยคุณสมบัติปฏิสมมาตร จะได้ว่า x = a โดยนิยาม 4.1
จึงสรุปได้ว่า a เป็นสมาชิกมินิมัล(minimal elements)

ตัวอย่าง 4.2 ถ้า P (A) = {&#8709;,{a},{b},{a,b} }
1.จะเห็นได้ว่า ~({a}&#8838;&#8709;),~({b}&#8838;&#8709;)และ ~({a,b}&#8838;&#8709;)
ดังนั้น &#8709; เป็นสมาชิกมินิมัลของ P (A)
และจาก ~({a,b}&#8838;&#8709;),~({a,b}&#8838;{a})และ~({a,b}&#8838;{b})
ดังนั้น {a,b} เป็นสมาชิกแมกซิมัลของ P (A)

5. ขอบเขตล่างและขอบเขตบน (Lower bound and Upper bound)
บทนิยาม 5.1 กำหนดให้ (x,&#8804;) เป็นเซตอันดับบางส่วน และ A&#8834;X
ถ้า a&#8712;X ซึ่ง a&#8804;y,&#8704;y&#8712;A เรียก a ว่าเป็นขอบเขตล่าง (lower bound) ของ A และเรียก A ว่ามีขอบเขตล่าง
ถ้า b&#8712;X ซึ่ง y&#8804;b,&#8704;y&#8712;A เรียก b ว่าเป็นขอบเขตบน (upper bound) ของ A และเรียก A ว่ามีขอบเขตบน
ตัวอย่าง 5.1 พิจารณา (I,&#8804;) และ I^+&#8838;I จะได้ว่า 1,0 และสมาชิกทุกตัวของI^-เป็นขอบเขตล่างของI^+ แต่I^+ ไม่มีขอบเขตบน ดังนั้น I^+มีขอบเขตล่าง แต่ไม่มีขอบเขตบน

บทนิยาม 5.2 ให้ B_* แทนเซตของขอบเขตล่าง(lower bound) ของ B และให้ B^*แทนเซตของขอบเขตบน (upper bound) ของ B
ถ้า a เป็นสมาชิกสุดท้ายของB_* เรียก a ว่า อินฟิมั่ม (infimum or greatest lower bound) ของ B เขียนแทนด้วย inf (B)
ถ้า b เป็นสมาชิกแรกของB^*เรียก b ว่า ซูปรีมัม (supremum or least upper bound) ของB เขียนแทนด้วย sup(B)
ตัวอย่าง 5.2 กำหนด (I,&#8804;) และ I^+&#8838;I จะได้
I_*^+ = {a&#8712;I&#8725;a&#8804;x,&#8704;x &#8712;I^+ }
= I^-&#8746;{0,1}
Inf (I^+) = 1
&#12310;I^+&#12311;^* = {b&#8712;I&#8260;x&#8804;x;&#8704;x &#8712;I^+ }
= &#8709;
ดังนั้นไม่มี sub &#12310;(I&#12311;^+)
ตัวอย่าง 5.3 กำหนดให้ Q เป็นเซตของจำนวนตรรกยะ
B = {x&#8725;x&#8712;Q,2<x^2<3}
พิจารณา (Q,&#8804;)และ B&#8838;Q
จะได้ B_* = {a&#8712;Q&#8260;a&#8804;x;&#8704;x &#8712;B}
= {a&#8712;Q&#8725;a<&#8730;2}
ดังนั้นไม่มี inf(B)
&#12310; B&#12311;^* = {b&#8712;Q&#8260;x&#8804;b;&#8704;x &#8712;B}
= {b&#8712;Q&#8260;&#8730;3 &#8804;b}
= {b&#8712;Q&#8260;b &#8805;3}
ดังนั้นไม่มี sub (B)

6. เซตอันดับดี (Well ordering set)
บทนิยาม 6.1 ให้ (X,&#8804;) เป็นเซตอันดับบางส่วน X เป็นเซตอันดับดี (well-orderes set) ก็ต่อเมื่อถ้า &#8704;_A&#8834;X,A&#8800;&#8709; แล้ว A มีสมาชิกแรก
หมายเหตุ อาจเขียน (X,&#8804;) เป็นเซตอันดับดี หมายถึง X ว่าเซตอันดับดี โดยความสัมพันธ์ &#8804; ซึ่ง (X,&#8804;) เป็นเซตอันดับบางส่วน หรือ อาจเขียน X เป็นเซตอันดับหมายถึง
X ว่าเซตอันดับดี โดยความสัมพันธ์หนึ่งที่เป็นเซตอันดับบางส่วนใน X
ตัวอย่าง 6.1 ให้ A= {{1},{1,2},{1,2,3} }
จะได้(A,&#8838;) เป็นเซตที่อันดับดีแล้ว
ตัวอย่าง 6.2 (N,&#8804;) เป็นเซตที่อันดับดีแล้ว
ตัวอย่าง 6.3 (I,&#8804;) ไม่เป็นเซตที่อันดับดีแล้ว เพราะว่ามีสับเซตซึ่งไม่ใช่เซตว่าง เช่น &#12310; I&#12311;^-
ไม่มีสมาชิกแรก
ตัวอย่าง 6.4 กำหนด A= {&#8709;,{a},{b},{a,b} }
ดังนั้น (A,&#8838;)ไม่เป็นเซตที่อันดับดีแล้ว เพราะว่ามี{{a},{b} }&#8800;&#8709; และ {{a},{b} }&#8838;A แต่ {{a},{b} } ไม่มีสมาชิกแรก
ทฤษฎีบท 6.1 ถ้า(X,&#8804;) เป็นเซตอันดับดี แล้ว(X,&#8804;) เป็นเซตอันดับเชิงเส้น
พิสูจน์ ให้(X,&#8804;) เป็นเซตอันดับดี จะพิสูจน์ว่า (X,&#8804;) เป็นเซตอันดับเชิงเส้น
ให้ (X,&#8804;) เป็นเซตอันดับดี [กำหนดให้]
a,b&#8712;X&#8594;{a,b}&#8834;X [บทนิยามเซตย่อย]
&#8594;{a,b} มีสมาชิกตัวแรก [บทนิยามเซตอันดับดี]
&#8594;a&#8804;b&#8744;b&#8804;a
&#8756;(X,&#8804;)เป็นเซตอันดับเชิงเส้น
บทนิยาม 6.2 กำหนด(A,&#8804;)เป็นเซตที่ลำดับได้บางส่วน และa,b&#8712;Aใช้สัญลักษณ์
a<b เมื่อ a&#8804;b และ a&#8800;bถ้าa<bและไม่มี c&#8712;A ซึ่a<c<b
เรียก bว่าตัวตามถัดไป (immediate successor) ของa และเรียก a ว่าตัวนำ
ถัดไป (immediate predecessor) ของb
บทนิยาม 6.3 กำหนด (A,&#8804;) เป็นเซตที่ลำดับได้บางส่วน และa&#8712;A เซกเมนต์เริ่มต้น
กำหนดโดย a (initial segment determined by a) คือ S_a={a&#8712;A&#8725;x&#8712;a}
ตัวอย่าง 6.5 (R,&#8804;)เป็นเซตที่ลำดับได้บางส่วน ดังนั้นเซกเมนต์เริ่มต้นกำหนดโดย 1/2 คือ&#12310; S&#12311;_(1/2)={x&#8712;R&#8725;x<&#9633;(1/2)}=(-&#8733;,1/2)
ทฤษฎีบท 6.2 (principle of transfinite induction)
กำหนด (A,&#8804;)เป็นเซตที่ลำดับดีแล้ว
S&#8838;A มีคุณสมบัติว่า
1. a_0&#8712;S
2. S_a&#8838;S&#8594;a&#8712;S
ดังนั้น S=A
ในที่นี้ a_0 คือสมาชิกแรกของ A
พิสูจน์ สมมุติว่า S&#8800;A จะได้ A-S=T&#8800;&#8709;
เพราะว่า T&#8838;A &#8756;T มีสมาชิกแรก
ให้ b เป็นสมาชิกแรกของ T
ถ้า x&#8712;S_bจะได้ x<b
แต่ b เป็นสมาชิกแรกของ T
ดังนั้น b&#8804;y;&#8704;y&#8712;T
ดังนั้น x<y;&#8704;y&#8712;T ดังนั้น x&#8713;T
แต่ T=A-S &#8756; x&#8713;A-S จะได้ x&#8712;S
นี่คือ x&#8712;S_b&#8594;x&#8712;S สรุปได้ว่า S_b&#8838; S
จากกำหนดให้ (2)จะได้ b&#8712;S
แต่ตอนแรกให้ b เป็นสมาชิกแรกของ T &#8756; b&#8712;T หรือ b&#8712;A-S ซึ่งย่อมได้ b&#8800;S
ซึ่งขัดแย้งกับ (1) นั่นคือ S=A
ทฤษฎีบท 6.3 ทฤษฎีการจัดอันดับดี (well-ordering theorem) ทุกเซต X เป็นเซตอันดับดี
พิสูจน์ จะพิสูจน์ว่า ทุกเซต X เป็นเซตอันดับดี
ถ้า X=&#8709; จะได้ทฤษฎีเป็นจริง ดังนั้นจะเลือกการพิสูจน์กรณี X &#8800;&#8709;
การพิสูจน์ต้องให้สัจพจน์ฟังก์ชันเลือกมาช่วยในการพิสูจน์ โดยให้ f เป็นฟังก์ชัน
เลือกของ X จะได้ว่า
f : (P(X)-{&#8709;})&#8594;X โดยที่ f(A)"&#8712;" A,&#8704;A&#8712;(P(X)-{&#8709;})
ให้ A&#8834;X เรียก A ว่าเซตปกติ (normal set)
เมื่อ A เป็นเซตอันดับดีและ f(X-Sa)=a,&#8704;a&#8712;A
เมื่อ Sa เป็นส่วนเริ่มต้นของ A ที่กำหนดโดย a
จะแสดงว่า มีเซตปกติ จากสัจพจน์ฟังก์ชันเลือกให้
x0=f(X)=f(X-&#8709;)=f(X-S0) &#8756; S0=&#8709; )= &#8756; S0 = &#8709;
x1= f(X-{x0 }) = f(X – S1 ) &#8756; S1 ={x0 }
x2= f(X-{x0,x1 }) = f(X – S2 ) &#8756; S2 ={x0,x1 }
x3= f(X-{x0,x1,x2 }) = f(X – S3 ) &#8756; S3 ={x0,x1,x2 }
จะได้ว่า A = { x0,x1,x2 } เป็นเซตปกติ
ให้ A และ B เป็นเซตปกติ ที่เป็นเซตย่อยของ X จะได้ว่า A=B หรือเซตหนึ่งเป็นส่วนเริ่มต้นของอีกเซตหนึ่ง หรืออาจกล่าวได้ว่า A=B หรือ A เป็นส่วนเริ่มต้นของ B
จะพิสูจน์ว่า ถ้า A และ B เป็นเซตปกติ ที่เป็นเซตย่อยของ X แล้ว A=B หรือใน A เป็นส่วนเริ่มต้นของ B
ให้ g เป็นฟังก์ชันสมสัณฐานจาก A ไป B เป็นเซตปกติ ที่เป็นเซตย่อยของ X แล้ว A=B หรือ A เป็นส่วนเริ่มต้นของ B
ให้ g เป็นฟังก์ชันสมสัณฐานจาก A ไป B และให้ A &#833;= {x&#8712;A | g(x)&#8800;x} จะได้ว่าถ้า A &#833; = &#8709; จะได้ว่า A= B หรือ A เป็นส่วนเริ่มต้นของ B
ถ้า A &#833; &#8800; &#8709; จะได้ว่า A &#833; &#8834;A [จากการกำหนด A &#833; ]
เนื่องจาก A &#833; เป็นเซตอันดับดี ดังนั้น A &#833; เป็นเซตอันดับดี
ดังนั้น A &#833; มีสมาชิกแรกให้ a0 เป็นสมาชิกแรกของ A &#833; [บทนิยามเซตอันดับดี]
ให้ Sa0 (A) เป็นส่วนเริ่มต้นของ A ที่กำหนดโดย a0 และ Sg(a0) (B) เป็นส่วนเริ่มต้นของ B ที่กำหนด
โดย g(a0) จะได้ว่า Sa0 (A) = Sg(a0) (B) เนื่องจาก A และ B เป็นเซตปกติ
ดังนั้น a0 = f(X – Sg(a0) (A)) = f(X – Sg(a0) (B)) [จากการกำหนดเซตปกติ]
จะได้ว่า g(a0) = a0 ทำให้ขัดแย้งกับการกำหนด A &#833; ซึ่ง g(x) &#8800;x ดังนั้น A &#833;=&#8709;
สรุปได้ว่า A=B หรือ A เป็นส่วนเริ่มต้นของ B นอกจากนี้ยังได้ว่า
ถ้า a &#8712; A และ b&#8712; B แล้ว a,b&#8712;A หรือ a,b&#8712;B และ
ถ้า a,b&#8712;A และ a,b&#8712;B แล้ว a&#8804; b ก็ต่อเมื่อ a&#8804; bใน B
ให้ Y={ x&#8712;X|x&#8712;A,,&#8707;A เมื่อ A เป็นเซตปกติ}
จะพิสูจน์ว่า Y เป็นเซตอันดับดี ถ้า a,b&#8712;Y จะได้ว่า a&#8712;A และ b&#8712;Bโดยที่ A และ B เป็นเซตปกติ ดังนั้น a,b&#8712;A หรือ a,b&#8712;B จะได้ว่า a&#8804;b ใน A หรือ a&#8804;b ใน B ดังนั้น a&#8804;b ใน Y จะได้ว่า Y เป็นเซตอันดับเชิงเส้น ให้ Z&#8834;Y &#8896; Z&#8800;&#8709; ถ้า a&#8712;Z จะได้ว่า a&#8712;A ดังนั้น A&#8745;Z&#8800;&#8709; จะได้ว่า A&#8745;Z&#8834;A โดยที่ A เป็นเซตอันดับดี ดังนั้น A&#8745;Z เป็นเซตอันดับดี และให้ A&#8745;Z มีสมาชิกแรกเป็น a0
สมมติให้ a0 ไม่เป็นสมาชิกแรกของ Z จะได้ว่ามี a1 &#8712;Z&#8715; a1< a0 ทำให้ a1 &#8712;Sa0 จะได้ว่า a1 &#8712;A ดังนั้น a0 ไม่เป็นสมาชิกแรกของ A&#8745;Z ทำให้เกิดการขัดแย้งกับที่ให้ a0 เป็นสมาชิกแรกของ A&#8745;Z
สรุปได้ว่า a0 เป็นสมาชิกแรกของ Z ดังนั้นได้ว่า Y เป็นเซตอันดับดี
จะพิสูจน์ว่า Y เป็นเซตปกติ
ถ้า a &#8712;Y แล้ว a &#8712;A เมื่อ Sa(A) เป็นส่วนเริ่มต้นของ A ที่กำหนดโดย a และ Sa(Y) เป็นส่วนเริ่มต้นของ Y ที่กำหนดโดย a จากทฤษฎีบท 6.5.13 จะได้ว่า Sa(A) = Sa(Y)
ดังนั้น f(x)-sa(Y) = f(x)-sa(A)) = a จะได้ว่า Y เป็นเซตปกติ
สุดท้ายจะแสดงว่า Y=X
สมมติ Y&#8800;X เนื่องจาก Y&#8834;X ดังนั้น X - Y &#8800; &#8709; ให้ f(X-Y) = a ,a &#8712; X-Y และให้ Y &#769;=Y&#8746;{a}
ให้ Y &#769; มีความสัมพันธ์เช่นเดียวกับ Y เมื่อ x&#8712;Y และ&#8704; x&#8712;Y ให้ x<a
จะได้ว่า f(x)-sa(Y)) = f(x-Y)=a ดังนั้น Y &#769;เป็นเซตปกติ [จากกำหนดเซตปกติ]
ดังนั้น a&#8712;Y ทำให้เกิดการขัดแย้งกับ f ที่เป็นฟังก์ชันเลือกของ X ที่ว่า f(X-Y)=a&#8712; X-Y
ดังนั้น Y=X แต่ Y เป็นเซตอันดับดี ดังนั้น X เป็นเซตอันดับดี
ตัวอย่าง 6.6 ให้ A = {&#8709;,{1},{2},{1,2}} จะได้ว่า (A,&#8834;) ไม่เป็นเซตอันดับดี
เพราะว่า {{1},{2}}&#8834;A แต่ {{1},{2}} ไม่มีสมาชิกแรก การหาความสัมพันธ์ &#8804; ใน A ทำให้ (A, &#8804; ) เป็นเซตอันดับดี โดยอาจกำหนดดังต่อไปนี้ &#8709;<{1}<{2}<{1,2} ก็จะได้ (A, &#8804; ) เป็นเซตอันดับดี
ซึ่งอาจกำหนดความสัมพันธ์ &#8804; เป็นอย่างอื่นได้อีก หรืออาจกำหนดตามทฤษฎีบทการจัดอันดับดีดังต่อไปนี้
&#8709;= f(X-&#8709;), {1}=f(A-{&#8709;}), {2} = f(A-{&#8709;,{1}),{1,2}=f(A)-{ &#8709;,{1},{2}}) นั้นคือเรียงอันดับสมาชิกของ A ได้ดังนี้
&#8709;<{1}<{2}<{1,2}}
ดังนั้น (A, &#8804; ) เป็นเซตอันดับดี

ทฤษฎีบท 6.4 ให้ X เป็นเซตอันดับบางส่วนแล้ว X จะมีเซตย่อย ที่เป็นเซตอันดับเชิงเส้น ที่ไม่
เป็นเซตย่อยแท้ของเซตย่อยที่เป็นเซตอันดับเชิงเส้นอื่นๆ ของ X
พิสูจน์ ถ้า X=&#8709; จะได้ว่าทฤษฎีบทเป็นจริง
ดังนั้นจะพิจารณา X&#8800;&#8709;
ให้(X,r) เป็นเซตอันดับบางส่วน และจากทฤษฎีบทการจัดอันดับ
จะได้ว่า (A, &#8804; ) เป็นเซตอันดับดี
และให้ x0 เป็นสมาชิกแรกของ X
ดังนั้นถ้ากล่าวถึงส่วนเริ่มต้นของ X จะใช้ความสัมพันธ์ r
ซึ่ง (X,r) เป็นเซตอันดับบางส่วน
และถ้ากล่าวถึงส่วนเริ่มต้นของ X สมาชิกแรกของเซตย่อยของ X
จะใช้ความสัมพันธ์ &#8804; ที่(A, &#8804; ) เป็นเซตอันดับดี &#8704; x&#8712;X ให้ A= {a&#8712;X&#8402;a&#8804;x} กล่าวคือ A ประกอบด้วยสมาชิก x และสมาชิก a<x เรียก A ว่าส่วนเริ่มต้นแบบอ่อนของ X
x, เมื่อ x เปรียบเทียบกับสมาชิกทุกตัวของ Sx ได้
ให้ f :A&#8594;A โดยกำหนด f(x)=
x0 , เมื่อไม่ใช่กรณีแรก

โดยที่ Sx เป็นส่วนเริ่มต้นของ A ที่กำหนดโดย x เรียก f ว่าฟังก์ชันเฉพาะ (special)จะแสดงว่ามีฟังก์ชัน f ที่เป็นฟังก์ชันเฉพาะเพียงฟังก์ชันเดียว
สมมติให้ f และ f&#789; ฟังก์ชันเฉพาะของ A
โดยที่ f &#8800;f&#789;จะได้ว่ามี a&#8712;A&#8715;f(a) &#8800;f&#789;(a)
แต่จากการกำหนด f จะได้ว่า f(a) = a หรือ x0 และ f&#789;(a) = a หรือ x0
ดังนั้นจะได้ว่า f(a) =f&#789; (a) ทำให้เกิดการขัดแย้งกับที่ให้ f(a) &#8800; f&#789;(a)
ดังนั้น f=f&#789;
ให้ F เป็นแฟมิลีเซตมีสมาชิกเป็น Ai ทุกเซตที่มี fi เป็นฟังก์ชันเฉพาะ
และให้ B=&#8899;_(Ai&#8712;F)&#9618;Ai โดยที่ Ai เป็นส่วนเริ่มต้นแบบอ่อนของ X
สามารถแสดงว่า B เป็นส่วนเริ่มต้นแบบอ่อนของ X
โดยกำหนดให้ g(b) = fi(b) เมื่อ b&#8712;Ai
โดยที่ f เป็นฟังก์ชันเฉพาะเพียงฟังก์ชันเดียวซึ่ง f : A&#8594;A
ถ้า A&#789; เป็นเซตส่วนเริ่มต้นแบบอ่อนของ X
และมีฟังก์ชันเฉพาะ f&#789; : A&#789;&#8594;A&#789;
โดยที่ A&#8834;A&#789; จะได้ว่า f&#789;&#8402;A=f
โดยที่ f&#789;(a) = f(a), &#8704; a&#8712;a
ทำให้ g(b) มีเพียงตัวเดียวดังนั้น B มีฟังก์ชันเฉพาะ
โดย g: B&#8594;B ซึ่ง g(b) =fi(b) เมื่อ b&#8712;Ai
จะแสดงว่า B= X สมมติให้ B&#8800;X โดยที่ B&#8834;X และ X เป็นเซตอันดับดี
ให้ y เป็นสมาชิกแรกของ X ซึ่ง y&#8800;B ให้ C = B&#8746;{y}
ซึ่งเป็นส่วนเริ่มต้นแบบอ่อนของ X จะได้ว่า B &#8834; C
ให้ h:C&#8594;C โดยกำหนด h(x) = g(x) เมื่อ x&#8712;B
y, เมื่อ y เปรียบเทียบได้กับสมาชิกทุกตัวของ h(B)
และ h(y) =
x0 ,เมื่อy เปรียบเทียบไม่ได้กับสมาชิกบางตัวของ h(B)
จะได้ว่า C&#8712;F แต่ B= &#8899;_(Ai&#8712;F)&#9618;Ai ดังนั้น C&#8834;B และสรุปได้ว่า C=B
เนื่องจาก y&#8712;C ทำให้ y&#8712;B ทำให้เกิดการขัดแย้งกับ y&#8713;B
ดังนั้นจะได้ว่า B =X จาก B เป็นส่วนเริ่มต้นแบบอ่อนของ X
ดังนั้น X เป็นส่วนเริ่มต้นแบบอ่อน
และสมาชิกใดๆ ของ g(X) เปรียบเทียบกันได้
ดังนั้น g(X) เป็นเซตย่อยที่เป็นเซตอันดับเชิงเส้นที่ไม่เป็นเซตย่อยแท้ของเซตย่อยที่เป็นเซตอันดับเชิงเส้นทั้งหมดของ X
สมมติให้ D เป็นเซตย่อยที่เป็นเซตอันดับเชิงเส้นของ X
โดยที่ g(X) &#8834;D และ g(X) &#8800;D จะได้ว่ามี Z&#8712;D
โดยที่ Z&#8713;g(X) จาก Z&#8712; D จะได้ว่า Z&#8712;X และ g(z) &#8712;g(X)
แต่ Z เปรียบเทียบกันได้กับสมาชิกทุกตัวของ g(X)
ดังนั้น z เปรียบเทียบกันได้กับสมาชิกทุกตัวของ g(Sx)
ดังนั้น g(z) =z ทำให้ z&#8712;g(X)
ทำให้เกิดการขัดแย้งกับ z&#8713;g(X)
ดังนั้น g(X) ไม่เป็นเซตย่อยแท้ของเซตย่อยที่เป็นเซตอันดับเชิงเส้นของ X

ตัวอย่าง 6.6 ให้ X= {&#8709;,{1},{2},{12}}
จะได้ว่า (X,&#8834;) เป็นเซตอันดับบางส่วนและจากทฤษฎีบทการจัดอันดับดี
จะได้ว่า (X,&#8804;) เป็นเซตอันดับดี
โดยกำหนด &#8709; &#8804;{1}&#8804;{2}&#8804;{12} มี &#8709; เป็นสมาชิกแรก
ให้ A={a &#8712; X&#8402; a &#8804; x},&#8704;x&#8712;X
จะได้ว่า A0 ={&#8709;} และ S&#8709;=&#8709;, A1={&#8709;,{1}} และ S{1} = &#8709;
A2 ={&#8709;,{1},{2}} และ S2 = {&#8709;,{1}},
A3 = {&#8709;,{1},{2},{1,2}} และ S{1,2}= {&#8709;,{1},{2}}
x เมื่อ x เปรียบเทียบกับสมาชิกทุกตัวของ Sx ได้โดย &#8834;
ให้ f &#8758;A&#8594;A โดยกำหนด f(x) =
&#8709; , เมื่อไม่ใช่กรณีแรก

f 0&#8758;A0&#8594;A0 โดยที่ f 0(&#8709;) = &#8709;
f 1&#8758;A1&#8594;A1 โดยที่ f 1(&#8709;) = &#8709; ,f1({1}) ={1}
f 2&#8758;A2&#8594;A2 โดยที่ f 2(&#8709;) = &#8709;,f2({1}) ={1},f2({2}) =&#8709;
f 3&#8758;A3&#8594;A3 โดยที่ f 3(&#8709;) = &#8709;,f3({1}) ={1},f3({2}) = &#8709;,f3({1,2}) ={1,2}
จะได้ว่า F = {A0,A1,A2,A3} และ B = &#8899;_(Ai&#8712;F)&#9618;Ai =A0&#8746; A1&#8746; A2&#8746;A3
จะได้ว่า B = X={&#8709;,{1},{2},{1,2}} ให้ g(b) = fi(b) เมื่อ b&#8712;Ai จะได้ว่า g(&#8709;) =&#8709;,
g({1)= {1}, g({2})=&#8709;, g({1,2})={1,2} , ดังนั้น g(X) ={&#8709;,{1},{1,2}}
ซึ่ง g(X) เป็นเซตย่อยของ X และ g(X) เป็นเซตอันดับเชิงเส้นที่ไม่เป็นเซตย่อยแท้ของเซตอันดับเชิงเส้นอื่นๆ ทั้งหมดของ (A, &#8834;)
ทฤษฎีบท 6.5 บทตั้งของซอร์น ถ้า (A,r) เป็นเซตอันดับบางส่วน ซึ่ง A &#8800; &#8709; และทุกๆเซตย่อยที่เป็นเซตอันดับเชิงเส้นใน A มีขอบเขตบนใน A แล้ว A จะมีสมาชิกใหญ่สุด
พิสูจน์ ให้ (A,r) เป็นเซตอันดับบางส่วน ซึ่ง A &#8800; &#8709; และทุกๆเซตย่อยที่เป็นเซตอันดับ
เชิงเส้นใน A มีขอบเขตบนใน A
จะแสดงว่า A มีสมาชิกใหญ่สุด
จากทฤษฎีบท 6.4 จะได้ว่า A มีเซต B ซึ่ง B&#8834;A
และ B เป็นเซตอันดับเชิงเส้น
โดยที่ B ไม่เป็นเซตย่อยแท้ของเซตย่อยที่เป็นเซตอันดับเชิงเส้นอื่นๆ ทั้งหมดของ A จากที่กำหนดให้ B มีขอบเขตบนใน A
ให้ b ไม่เป็นสมาชิกใหญ่สุดของ A จะได้ว่ามี x&#8712;A&#8715;b &#8804;x&#8896;b&#8800;x
ดังนั้น b<x ทำให้ x &#8713;B &#8757; b เป็นขอบเขตบนของ B และ b<x
โดยที่ b เป็นขอบเขตบนของ B
และ B เป็นเซตอันดับเชิงเส้นและ b<x
ดังนั้น B&#8746;{x} เป็นเซตอันดับเชิงเส้น
จะได้ว่า B&#8834;B&#8746;{x} &#8757;x&#8713;B&#8896; x&#8712;A
ดังนั้น B เป็นเซตย่อยแท้ของ B&#8746;{x} &#8834;A ทำให้เกิดการขัดแย้งกับที่ให้ว่า
B &#8834;Aและ B เป็นเซตอันดับเชิงเส้นโดยที่ B ไม่เป็นเซตย่อยแท้ของเซตย่อยที่เป็นเซตอันดับเชิงเส้นอื่นๆ ของ A
ดังนั้น b เป็นสมาชิกใหญ่สุดของเซต A นั้นคือ A มีสมาชิกใหญ่สุดของเซต


ทฤษฎีบท 6.6 สัจพจน์แซร์เมโล
ถ้า {Ai}i&#8712;&#969;&#8800;&#8709;&#8896;Ai&#8745;Aj&#8800;&#8709;,i&#8800;j แล้วจะมี B&#8715;B&#8834; &#8746;&brvbar;(j&#8712;&#969; )A&#8715;B&#8745;Ai มีสมาชิก 1 ตัว
พิสูจน์ ให้ {Ai} i&#8712;&#969; เป็นแฟมิลีเซตซึ่ง {Ai} i&#8712;&#969; &#8800;&#8709; &#923; Ai&#8745;Aj &#8800;&#8709;,i&#8800;j
ให้ B&#789;= {X&#8402;X&#8834; &#8746;&brvbar;(j&#8712;&#969; ) A I &#923;X&#8745; Ai มีสมาชิกอย่างมาก 1 ตัว
โดยที่ Ai&#8712;{Ai}i&#8712;&#969;}
จะได้ว่า (B&#789;, &#8834;) เป็นเซตอันดับบางส่วน
ให้ {Bj}j&#8712;&#969;เป็นเซตอันดับเชิงเส้นที่เป็นเซตย่อยของ B&#789; จะได้ว่า {Bj} j&#8712;&#969; &#8834;B&#789;
จะแสดงว่า B = &#8746;&brvbar;(j&#8712;&#969; ) Bj &#8712; B&#789;
สมมติให้ B&#8713;B&#789; จะได้ว่ามี Ak&#8712;{Ai}i&#8712;&#969;
ซึ่ง B&#8745;Ak มีสมาชิกมากกว่า 1 ตัว
ให้ a,b&#8712;B&#8745;Ak โดยที่ a&#8800;b จะได้ว่า a,b &#8712; B
ดังนั้นจะมีเซต Bm, Bn &#8712;{Bj}j&#8712;&#969; ซึ่ง a&#8712;Bm และ b&#8712;Bn
แต่ ({Bj},&#8834;) เป็นเซตอันดับเชิงเส้น
ดังนั้น a,b&#8712;Bm หรือ a,b&#8712;Bn จะได้ว่า (Bm&#8745;Ak)&#8744;(Bn&#8745;Ak)
มีสมาชิกมากกว่า 1 ตัวทำให้เกิดการขัดแย้งกับที่กำหนด B&#789;
ดังนั้น B&#8712; B&#789; และจะได้ว่า B เป็นขอบเขตของ {Bj}
จะแสดงว่า ทุกเซตอันดับเชิงเส้นที่เป็นเซตย่อยของ B&#789; มีขอบเขตบน
จากทฤษฎีบท บทตั้งของซอร์นจะได้ว่า B&#789; มีสมาชิกใหญ่สุด
ให้สมาชิกใหญ่สุดของ B&#789; เป็น M ถ้า ส่วนร่วมของ M กับแต่ละ Ai ได้สมาชิกไม่เท่ากับ 1 ตัว แล้วจะมี A p&#8712;{Ai) i&#8712; &#969; ซึ่ง M&#8745;A p = &#8709;
ให้ c&#8712;Apแล้ว M&#8746;{c} เป็นสมาชิกของ B&#789; ทำให้เกิดการขัดแย้งกับที่กำหนด M เป็นสมาชิกใหญ่สุดของ B&#789;
ดังนั้น ส่วนร่วม M กับแต่ละ Ai จะได้สมาชิกอย่างมาก 1 ตัว

จำนวนเชิงการนับ ( Cardinal Number)
ในเรื่องนี้จะเป็นการศึกษาเกี่ยวกับขนาด (Size) ของเซตต่าง ๆ ซึ่งขึ้นอยู่กับจำนวนของสมาชิกในเซต การศึกษาในเรื่องนี้เกิดมาจากการที่มีเซต 2 เซต เช่น เซต A และ B เราต้องการตอบปัญหาที่เกิดขึ้นสองข้อดังนี้
เซต A และเซต B มีขนาดเท่ากันหรือไม่ (หรือถามว่ามีจำนวนสมาชิกในแต่ละเซตเท่ากันหรือไม่)
เซต A และเซต B มีขนาดใหญ่กว่ากันหรือไม่ (หรือถามว่ามีจำนวนสมาชิกในแต่ละเซตมากกว่ากันหรือไม่ )
ในการกล่าวถึงขนาดของเซต นักคณิตศาสตร์หมายความว่า จำนวนสมาชิกในเซตเหล่านั้นเป็นอย่างไร เช่น มีจำนวนสมาชิกจำกัด ไม่มีสมาชิกในเซตเลย หรือมีจำนวนสมาชิกมากมายจนไม่สามารถจำกัดจำนวนได้
การตอบปัญหา 2 ข้อที่กล่าวนี้ ทำได้โดยพิจารณาจากปัญหาที่เซต 2 เซตมีขนาดเล็ก หรือมีจำนวนสมาชิกน้อย ๆ ก่อน เช่น เซต A เป็นเซตที่มีสมาชิกในเซตเป็นปลาที่เลี้ยงอยู่ในตู้ปลาตู้หนึ่งที่อยู่ในฟาร์มแห่งหนึ่ง และเซต B เป็นเซตที่มีสมาชิกในเซตเป็นคนในบ้าน 3 หลังที่อยู่ในเขตรั้วเดียวกัน เราอาจจะแสดงจำนวนสมาชิกในแต่ละเซตโดยอาศัยแผนภาพ ดังต่อไปนี้

&#61684;&#61684;&#61684; &#61570; &#61570; &#61570;
&#61684;&#61684;&#61684; &#61570;&#61570; &#61570;

ปัญหาที่เราต้องการตอบ คือ จำนวนของปลาในเซต A เท่ากับจำนวนของคนในเซต B หรือไม่
ถ้าจำนวนปลา และจำนวนคนมีไม่มากนัก ก็พอจะนับได้ถ้วนถี่ ถูกต้อง แต่ถ้าจำนวนปลา และจำนวนคนในแต่ละเซตมีเพิ่มมากขึ้น ความถูกต้องในการนับสมาชิกของแต่ละเซตก็น้อยลงเกิดความผิดพลาดได้ง่ายขึ้น ความถูกต้องในการนับสมาชิกของแต่ละเซตก็น้อยลงเกิดความผิดพลาดได้ง่ายขึ้น แต่นักคณิตศาสตร์ก็ได้พยายามหาวิธีการ ที่จะเปรียบเทียบจำนวนสมาชิกในเซต 2 เซต ให้ง่ายขึ้น โดยไม่ต้องการนับว่าแต่ละเซตมีจำนวนเป็นตัวเลขใด
วิธีการที่นักคณิตศาสตร์คิดว่ามีประสิทธิภาพในการเปรียบเทียบเซต 2 เซตที่ดีวิธีหนึ่ง ก็ทำโดยการเริ่มต้นจากการจับคู่ระหว่างสมาชิกของเซตแต่ละเซต ในที่นี้คือ สมาชิกที่เป็นปลา กับ คน คล้ายกับการกระทำที่ให้แต่ละคนมีสิทธิ์จะจับปลาจากตู้ปลามาได้คนละตัว เมื่อทุกคนได้ปลา 1 ตัวแล้วก็มาดูว่า มีปลาเหลืออยู่ในตู้ปลาหรือไม่ หรืออาจเกิดกรณีที่มีคนบางคนยังไม่ได้ปลา แต่ปลาในตู้ปลาหมดไปแล้ว หรืออาจเกิดกรณีที่ทุก ๆ คนได้ปลาคนละ 1 ตัว และปลาในตู้ปลาก็หมดพอดี วิธีการนี้ทำให้เราทราบได้ว่า จำนวนปลาและจำนวนคน เท่ากันหรือไม่
วิธีที่ได้กล่าวมาแล้วนี้ ก็คือวิธีการทางคณิตศาสตร์ในการสร้างฟังก์ชันจากเซต A ไปยังเซต B ซึ่งกล่าวได้ว่า เป็นการเปรียบเทียบเซต 2 เซตที่มีประสิทธิภาพ และเราเรียกเซต 2 เซตที่มีจำนวนสมาชิกเท่ากันว่า เซตเทียบเท่า (Equivalent sets)
1.เซตเทียบเท่า(Equivalent sets)
การศึกษาเกี่ยวกับการเท่ากันของเซตเราได้จากการกำหนดสัจพจน์เอกซ์เทนชัน แต่ในการพิจารณาว่าเซต 2 เซตมีขนาดเท่ากันหรือไม่ เราจะศึกษาจากฟังก์ชันจากเซตหนึ่งไปยังอีกเซตหนึ่ง ถ้าเราสามารถหาฟังก์ชันซึ่งเป็นฟังก์ชัน 1-1 ได้ ก็นำมากำหนดเป็นเซตเทียบเท่ากัน ดังนิยามที่จะกล่าวต่อไปนี้
บทนิยาม 1.1 เซตเทียบเท่า (Equivalent sets)
ให้ A และ B เป็นเซต เรียกเซต A ว่าเป็นเซตเทียบเท่ากับ B (Equivalent sets) ก็ต่อเมื่อ มีฟังก์ชันจากเซต A ไปยังเซต B ซึ่งฟังก์ชันนี้เป็นหนึ่งต่อหนึ่งและทั่วถึง
แทนเซต A เทียบเท่ากับ เซต B ด้วย A &#61627; B
แทนเซต A ไม่เทียบเท่ากับ เซต B ด้วย A &#61627; B
ตัวอย่าง 1.1 ให้ A = &#61563;1, 2, 3, 4&#61565; และ B = &#61563;6, 7, 8, 9&#61565; เป็นเซต เราได้เซต A และ B เป็นเซตที่เทียบเท่ากัน แสดงได้ดังนี้
เราสร้างฟังก์ชัน f จาก A ไปยัง B โดยให้
f = &#61563;(1, 6), (2, 7), (3, 8), (4, 9)&#61565; ซึ่งได้ f เป็นหนึ่งต่อหนึ่งและทั่วถึง
ดังนั้น เซต A เป็นเซตที่เทียบเท่ากับเซต B
ตัวอย่าง 1.2 ให้ X = &#61563;1, 2, 3&#61565; และ Y = &#61563;m, n&#61565;
ปรากฏว่า X &#61627; Y เพราะว่าจำนวนสมาชิกใน X มีอยู่ 3 ตัว และจำนวนสมาชิกใน Y มีอยู่ 2 ตัว เมื่อเราเขียนฟังก์ชันจาก X ไปยัง Y เท่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดแล้ว (กรณีนี้ทำได้เพราะจำนวนสมาชิกในแต่ละเซตมีจำกัด) ไม่มีฟังก์ชันใดเป็นหนึ่งต่อหนึ่งและทั่วถึง
ตัวอย่าง 1.3 ให้ &#8469; = &#61563;1, 2, 3, 4, …&#61565; และ E+ = &#61563;2, 4, 6, 8, …&#61565;
จะพิจารณาว่า &#8469; เทียบเท่ากับ E+
วิธีทำ กำหนดฟังก์ชัน f จาก &#8469; ไปยัง E+ โดย f(x) = 2x , &#61474; x &#61646; &#8469;
จะแสดงว่า f เป็นฟังก์ชัน 1-1
ให้ a, b &#61646;&#8469; และ f(a) = f(b) ดังนั้น 2a = 2b (ตามนิยามของ f)
และได้ a = b
ต่อไปต้องแสดงว่า f เป็นฟังก์ชันทั่วถึง
ให้ y &#61646; E+ ดังนั้น &#61646; &#8469; โดยที่ f( ) = 2( ) = y
ดังนั้น ใน &#8469; เป็นพรีอิมเมจของ y ใน E+
ฉะนั้น f เป็นฟังก์ชันทั่วถึง
สรุปได้ว่า &#8469; &#61627; E+
2.เซตจำกัดและเซตอนันต์ (Finite sets and Infinite sets)
โดยสามัญสำนึก เราคุ้นเคยกับเซตจำกัดและเซตอนันต์ แต่ยังไม่ได้กำหนดนิยามตามหลักการของเซตออกมา ในที่นี้เราจะศึกษาแนวทางการให้คำจำกัดความของเซตจำกัดและเซตอนันต์ซึ่งนักคณิตศาสตร์ได้ให้แนวทางไว้ 2 แนวทางดังนี้
ก. จากเซตจำกัดสู่เซตอนันต์
ให้ &#8469;= &#61563;1, 2, 3, 4, …&#61565; และ k&#61646;&#8469;
กำหนดเซต&#8469;k โดย &#8469;k = &#61563;1, 2, 3, 4, …, k&#61565;
นั่นคือ เราได้ &#8469;1=&#61563;1&#61565;,&#8469;2=&#61563;1, 2&#61565;, &#8469;3 =&#61563;1, 2, 3&#61565;
ซึ่งได้สมาชิกใน &#8469;k มีอยู่ k ตัว
นิยาม 2.1 เซตจำกัด (Finite sets)
เรียกเซต A ว่าเป็นเซตจำกัด(Finite sets) ก็ต่อเมื่อ A เป็นเซตว่าง หรือ A &#61627; &#8469;k
นิยาม 2.2 เซตอนันต์ (Infinite sets)
เรียกเซต Bว่าเป็นเซตอนันต์ (Infinite sets) ก็ต่อเมื่อ B ไม่เป็นเซตจำกัด
ในที่นี้ได้กำหนดนิยามของเซตจำกัดก่อน และถ้าเซตใดไม่เป็นไปตามนิยาม 2 ก็จะจัดเป็นเซตอนันต์ ในการกำหนดนี้จึงอาศัยการแบ่งเซตได้เป็น 2 ชนิดเท่านั้น ถ้าเป็นชนิดแรกไม่ได้ ก็ต้องมาเป็นชนิดที่สอง
หมายเหตุ การที่ A เป็นเซตจำกัด แสดงว่า A = &#61542; หรือ A &#61627; &#8469;k
ฉะนั้น ถ้า A &#61625; &#61542; และ A เป็นเซตจำกัด ก็สามารถจะกำหนดให้สมาชิกใน Aเขียนแบบเรียงลำดับสมาชิกได้ดังนี้ คือ A = &#61563;a1 , a2, a3, …,ak&#61565; และจะเห็นได้ว่า A&#61627;&#8469;k
เซตที่เทียบเท่ากัน จะมีการจับคู่ระหว่างสมาชิกของเซตนั้นเป็นแบบหนึ่งต่อหนึ่ง และไม่มีสมาชิกในเซตใดเซตหนึ่งเหลืออยู่ นั่นคือ มีฟังก์ชัน 1-1 และทั่วถึง จากเซตหนึ่งไปยังอีกเซตหนึ่ง นักคณิตศาสตร์จึงตั้งหลักการอันหนึ่ง ที่เรียกว่า หลักการรังนกพิราบ (The Pigeon-Hole Principle) ซึ่งกล่าวว่า
ถ้ามีวัตถุ n สิ่ง และมีช่องสำหรับใส่วัตถุอยู่ m ช่อง โดย n > m ถ้าต้องการใส่วัตถุลงในช่องทุก ๆ ช่อง แล้วจะมีช่องบางช่องที่มีวัตถุในช่องนั้นอย่างน้อย 2 สิ่ง
หรือกล่าวเป็นข้อความอีกข้อความหนึ่ง ที่มีความหมายสมมูลกันได้ว่า
ถ้ามีวัตถุ n สิ่ง และมีช่องสำหรับใส่วัตถุอยู่ n ช่อง ถ้าต้องการใส่วัตถุลงในช่องทุก ๆ ช่อง โดยที่ช่อง ๆ หนึ่งใส่วัตถุเพียงหนึ่งสิ่ง แล้วจะได้ว่า แต่ละช่องจะมีวัตถุอยู่ในช่องเพียง 1 สิ่งเท่านั้น และไม่มีช่องว่างเปล่าเหลืออยู่เลย
โดยอาศัยหลักการรังนกพิราบ จะกล่าวถึงการเทียบเท่ากันของเซต กับสับเซตของเซตนั้นๆ ได้ดังนี้



1.ไม่มีสับเซตแท้ ของ &#8469;k ซึ่งเทียบเท่ากับ &#8469;k
สำหรับเซต &#8469;k มีสมาชิก k ตัว สับเซตแท้ ของ &#8469;k จึงมีสมาชิกน้อยกว่า k ตัว
เปรียบเทียบเสมือนมีวัตถุ k สิ่ง นำวัตถุ k สิ่งนั้น มาใส่ในช่อง ที่จำนวนช่องน้อยกว่า k จึงมีบางช่องที่บรรจุอย่างน้อย 2 สิ่ง เกิดเป็นฟังก์ชันทั่วถึง แต่ไม่เป็น 1-1
2.ถ้า A เป็นเซตจำกัด ซึ่ง A &#61625; &#61542; แล้วจะได้ว่า ไม่มีสับเซตแท้ใดของ A ที่เทียบเท่ากับ A
ในแนวทางของการศึกษาเซตจำกัด โดยให้นิยามเซตจำกัดก่อน จะเป็นแนวทางที่นักคณิตศาสตร์ ขยายความคิดได้ไม่กว้างนัก จึงมีการกำหนดเซตอนันต์เป็นนิยามก่อนดังแนวทางข้อ ข. ต่อไปนี้
ข. จากเซตอนันต์สู่เซตจำกัด
จากการศึกษาเซตจำกัดและเซตอนันต์ ในแนวทางข้อ ก. นั้น ก็จะเห็นว่า เซตที่เป็นเซตจำกัดโดยไม่เป็นเซตว่าง จะไม่มีสับเซตแท้ใดที่เทียบเท่าตัวมันเองได้ สำหรับเซตอนันต์ที่เราทราบความหมายกันทั่ว ๆ ไปว่า มีจำนวนสมาชิกไม่จำกัด (นับจำนวนไม่ถ้วน) นั้น เมื่อสังเกตดูพบว่า มีสับเซตแท้ของเซตอนันต์ที่เทียบเท่ากับตัวมันเองได้ จึงเป็นแนวทางที่ทำให้เกิดนิยามในแบบใหม่ได้
นิยาม 2.3 เซตอนันต์(Infinite sets)
ให้ A เป็นเซต เรียก A ว่าเป็นเซตอนันต์ (Infinite sets) ก็ต่อเมื่อมีเซต A1 ซึ่งเป็นสับเซตแท้ของ A ที่มีคุณสมบัติว่า A1 &#61627; A
นิยาม 2.4 เซตจำกัด(finite sets)
ให้ B เป็นเซต เรียก B ว่าเป็นเซตจำกัด(finite sets) ก็ต่อเมื่อ B ไม่เป็นเซตอนันต์(Infinite sets)
จะเห็นว่า แนวทางในข้อ ข. กำหนดนิยามเซตอนันต์ก่อน แล้วจึงกำหนดนิยามของเซตจำกัด โดยกล่าวว่า เซตใดที่พบว่า ไม่เป็นเซตอนันต์ ให้เรียกว่า เซตจำกัด ซึ่งสำรวจว่า เซตใดไม่เป็นเซตอนันต์ ก็จะไม่มีสับเซตแท้ที่เทียบเท่ากับตัวมันเอง
พิจารณา X = &#61563;a, b&#61565; สับเซตแท้ของ X ได้แก่ &#61563;a&#61565;,&#61563;b&#61565; จะเห็นได้ว่า ไม่มีฟังก์ชัน 1-1 และทั่วถึงจากเซต X ไปยังสับเซตแท้ของ X เลย เซต X จึงเป็นเซตจำกัด
หรือกล่าวได้ว่า &#8469;k = &#61563;1, 2, 3, …, k&#61565;เป็นเซตจำกัด ทุกค่าของ k &#61646; &#8469;
3.ความหมายของจำนวนเชิงการนับ
สำหรับเซต A ซึ่งเป็นเซตจำกัด จำนวนสมาชิกของเซต A เป็นจำนวนที่ใช้เปรียบเทียบขนาดของเซต A เช่น ถ้าเซต A เป็นเซตว่าง ก็ไม่มีสมาชิกใน A จึงใช้จำนวนเต็ม 0 เป็นการวัดขนาดของเซตว่าง ถ้าเซต A &#61627; &#8469;k ก็จะใช้จำนวนเต็ม k ซึ่งเป็นจำนวนเต็ม เพื่อที่จะแทนขนาดของเซต A
ให้ A = &#61563;1, 2&#61565; และ B = &#61563;c, d&#61565; เซต A และ B มีความแตกต่างกัน คือ สมาชิกใน A และใน B แตกต่างกัน แต่สิ่งที่เหมือนกันของเซต A และ B ก็คือ จำนวนสมาชิกของเซตทั้งสองเป็นจำนวนเดียวกัน คือ 2 และได้ A &#61627; &#8469;2, B &#61627; &#8469;2 จึงได้A &#61627; B
สิ่งที่เหมือนกันของเซต A และ B ที่กล่าวนี้ เรียก A และ B ว่ามีจำนวนเชิงการนับ (หรือเรียกจำนวนคาร์ดินัล) เท่ากัน จำนวนเชิงการนับ คือจำนวนสมาชิกของเซตนั่นเอง
สัจพจน์ 3.1 สัจพจน์ของจำนวนเชิงการนับ (Axiom of cardinality)
สำหรับทุกๆเซต A จะมีสิ่งที่เรียกว่า จำนวนเชิงการนับของ A เขียนแทนด้วย Card (A) ซึ่งมีสมบัติว่าCard (A) = Card (B) ก็ต่อเมื่อ A~B
หมายเหตุ : จำนวนสมาชิกของเซตจำกัด มีสมบัติสอดคล้องกับจำนวนเชิงการนับของเซตจำกัด กล่าวคือ เซตจำกัดจะมีจำนวนสมาชิกเท่ากัน ก็ต่อเมื่อเป็นเซตที่เทียบเท่ากัน
ตัวอย่าง3.1 จำนวนสมาชิกของเซตจำกัดเป็นจำนวนเชิงการนับของเซตจำกัดดังนี้
Card (&#8709;) = 0
Card ({a,b}) = 2
Card ({1,2,3,4}) = 4
Card ({3,5,7,9,11}) = 5

บทนิยาม 3.1 จำนวนเชิงการนับจำกัด คือ จำนวนเชิงการนับของเซตจำกัด
บทนิยาม 3.2 จำนวนเชิงการนับอนันต์ คือ จำนวนเชิงการนับของเซตอนันต์
บทนิยาม 3.3 จำนวนเชิงการนับ k และ 0
ถ้าเซต A &#61627; &#8469;k เมื่อ k &#61646;&#8469; เรียกเซต A ว่ามีจำนวนเชิงการนับ เป็น k
ถ้าเซต A &#61625; &#61542; เรียกเซต A ว่ามีจำนวนเชิงการนับเป็น 0
สัญลักษณ์ แทนจำนวนเชิงการนับของเซต A ด้วย card A
ถ้าเซต A &#61627; &#8469;k จึงเขียนเป็น card A = k
และ card &#61542; = 0
บทนิยาม 3.4 กำหนดให้ A และ B เป็นเซตแล้ว Card (A) < Card(B) ก็ต่อเมื่อ
1. A~B_(0,)&#8707;B_0&#8838;Bและ
2. ไม่มี A_0&#8838;A ซึ่ง A_0~B
ทฤษฎีบท 3.1 กำหนดให้ A เป็นเซตใดๆและ P(A) เป็นเซตกำลังของ A แล้วจะได้ Card (A) <
Card(P(A))
พิสูจน์ 1. ถ้า A = &#8709; แล้ว Card (A) = 0
แต่ P(A)={&#8709;} และ Card(P(A)) = 1
ดังนั้น Card (A) < Card(P(A))
2. ถ้า A &#8800;&#8709; ดังนั้นให้ x&#8712;A จะได้ {x}&#8712;P(A)
ให้ f เป็นฟังก์ชันจาก A ไปยัง P(A)โดยที่ f(x) ={x}
ให้ B = {{x}&#8725;x&#8712;A}
จะได้ B เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและทั่วถึง และ B &#8838; P(A)
ดังนั้นจะมีบาง B &#8838; P(A) ซึ่ง A~B
ต่อไปจะแสดงว่า P(A) ไม่สามารถเทียบเท่าเซตย่อยของA
สมมุติให้ A_1&#8838;A และA_1~ P(A)โดยฟังก์ชัน g
สำหรับทุกๆ x&#8712;A ให้&#12310; C&#12311;_x=g(x) ซึ่ง g(x) เป็นเซตเพราะว่า
g(x) อยู่ใน P(A) และให้ D = {x&#8712;A_1&#8725;x&#8713;C_x }
เนื่องจาก D &#8838; A จะได้ D &#8712; P(A)
ดังนั้นมี x_1&#8712;A_1ซึ่ง g(x_1)=D เพราะว่า g เป็นฟังก์ชัน
จาก A_1ไปทั่วถึง P(A) เนื่องจาก C_(x_1 )=g(x_1)ดังนั้น D=C_(x_1 )
เนื่องจาก x_1&#8712; D หรือ x_1&#8713;D
ถ้า&#12310; x&#12311;_1&#8712; D เนื่องจาก D = C_(x_1 )จะได้ &#12310; x&#12311;_1&#8712; C_(x_1 )
แต่ &#12310; x&#12311;_1&#8712; D โดยนิยามของ D จะได้ x_1&#8713;C_(x_1 )
แสดงว่า กรณีที่ x_1&#8713;D เป็นไปไม่ได้เช่นกัน
ดังนั้นที่สมมุติให้ A_1&#8838;A และA_1~ P(A)
นั่นคือ Card (A) < Card(P(A))
จาก 1 และ 2 เป็นการแสดงว่าทฤษฎีบท 3.1 เป็นจริง
บทนิยาม 3.5 กำหนดให้ A และ B เป็นเซตใดๆแล้วจะได้
Card (A) > Card(B) ก็ต่อเมื่อ Card (B) < Card(A)
Card (A) &#8804; Card(B) ก็ต่อเมื่อ Card (A) = Card(B) หรือ
Card (A) < Card(B)
Card (A) &#8805; Card(B) ก็ต่อเมื่อ Card (A) = Card(B) หรือ
Card (A) > Card(B)
ข้อตกลง : สำหรับเซตอนันต์ที่เป็นเซตอนันต์แบบนับได้ ซึ่งเทียบเท่ากับ N จะกำหนดจำนวน
เชิงการนับเป็น&#969; (Card (N)= &#969;) สำหรับเซตของจำนวนจริง R จะกำหนดจำนวนเชิงการนับเป็น&#945; (Card(R)=) &#945;
ทฤษฎีบท 3.2 กำหนดให้ A&#8838;B แล้วจะได้ Card (A) &#8804; Card(B)
พิสูจน์ สมมุติให้ Card (A) > Card(B)
ดังนั้น จะได้ B เทียบเท่ากับเซตย่อยของ A
และ A ไม่เทียบเท่าเซตย่อยของB แต่ A~A และ A &#8838; B
ดังนั้น A เทียบเท่ากับเซตย่อยของ B
ซึ่งเป็นไปไม่ได้ เพราะเกิดการขัดแย้งกับ A ไม่เทียบเท่ากับเซตย่อยของ B
ดังนั้นที่สมมุติให้ Card (A) > Card(B) จึงเป็นไปไม่ได้
ดังนั้น Card (A) &#8804; Card(B)
นั่นเป็นการพิสูจน์ว่าทฤษฎีบท 3.2 เป็นจริง
4. การบวกและการคูณจำนวนเชิงการนับ
บทนิยาม 4.1 สำหรับเซต A และเซต B ที่ A&#8745;B = &#8709; และ Card (A) = a , Card (B) = b แล้ว
ผลบวกของ a กับ b เขียนแทนด้วย a+b หมายถึง a+b = Card (A&#8746;B)
บทนิยาม 4.2 สำหรับเซต A และเซต B ที่ A&#8745;B = &#8709; และ Card (A) = a , Card (B) = b แล้ว
ผลคูณของ A กับ B เขียนแทนด้วย ab หมายถึง ab = Card (A&times;B)
ตัวอย่าง 4.1 กำหนดให้ A = {x,y,z} และ B = {1,2,3,4}
จงหา Card (A&#8746;B) และ Card (A&times;B)
วิธีทำ จาก A = {x,y,z} นั่นแสดงว่า Card (A) = 3
จาก B = {1,2,3,4} นั่นแสดงว่า Card (B) = 4
ดังนั้น Card (A&#8746;B) = 3+4 = 7
และ Card (A&times;B) = 3&times;4 = 12
บทนิยาม 4.3 ให้ A และ B เป็นเซต และ &#945; = #(A) และ &#946; = #(B) ผลบวกและผลคูณของ &#945; และ &#946; เขียนแทนด้วย &#945;+ &#946; และ &#945;&#946; ตามลำดับโดยกำหนด
1.&#945;+ &#946; = # (A&#8746;B) เมื่อ A&#8745;B = &#8709;
2.&#945;&#946; = # (A&times;B)


ตัวอย่าง 4.2 ให้ A ={a,b,c} และ B ={3,5}จงหา #(A)+#(B) และ #(A)#(B)
วิธีทำ จะได้ว่า #(A) = #{a,b,c} = 3 และ #(B) = #{3,5} = 2
ดังนั้น # (A) + #(B) = # (A&#8746;B) = # {a,b,c,3,5} = 3+2 =5
#(A)#(B) = #(A&times;B) = # ({(a,3),(a,5),(b,3),(b,5),(c,3),(c,5)}) = 3&times;2 = 6
ทฤษฎีบท 4.1 ให้ &#945; และ &#946; เป็นจำนวนเชิงการนับจะมีเซต A1 และ B1 ซึ่ง A1&#8745; B1 = &#8709;
โดยที่&#945; = #( A1) และ &#946; = #( B1)
พิสูจน์ ให้ &#945; และ &#946; เป็นจำนวนเชิงการนับ จะพิสูจน์ว่ามีเซต A1 และ B1 ซึ่ง A1&#8745; B1 = &#8709; โดยที่&#945; = #( A1) และ &#946; = #( B1)
ให้ A และ B เป็นเซต ซึ่ง &#945; = #(A) และ &#946; = #(B) [สัจพจน์ 10]
ให้ A1 = A&times;{0} และ B1 = B&times; {1} จะแสดงว่า A~ A1
กำหนดให้ f(x) = (x,0),&#8704;x &#8712; A จะแสดงว่า f:A &#9633;(&#8594;&#9524;(1-1) ) A&times;{0}
ให้ x &#8712; A1 จะได้ว่า f(x) =(x,0) &#8712; A&times;{0} &#8756; Rf &#8834; A&times;{0}
ให้ x1 = x2 ซึ่ง x1, x2 &#8712; A จะได้ว่า f(x1) = (x2,0) = f(x2) ดังนั้น f(x1) = f(x2)
&#8756; f : A&#8594;A&times;{0} [บทนิยามฟังก์ชันจาก A ไป B]
ให้ f(x1) = f(x2) จะได้ว่า (x1,0) = (x2,0) ดังนั้น f(x1) = f(x2)
&#8756; f : A &#9633;(&#8594;&#9524;(1-1) )A&times;{0} [บทนิยามฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง]
ให้ (x,0) &#8712; A&times;{0} , ),&#8704;x &#8712; A จะได้ว่ามี x &#8712; A ซึ่ง f(x) = (x,0)
&#8756; f : A &#9633;(&#8594;&#9524;ทั่วถึง ) A&times;{0} [บทนิยามฟังก์ชันทั่วถึง]
จาก (1)-(4) สรุปได้ว่า f:A &#9633;(&#8594;&#9524;(1-1) ) A&times;{0} [บทนิยามฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง]
จะได้ว่า A~ A1 [บทนิยามเซตสมมูล]
ในทำนองเดียวกันจะได้ B~B1 เนื่องจาก A1 = A&times;{0} และให้ B1 = B&times;{1}
เนื่องจาก (a,0) &#8712; A1 และ (b,1) &#8712; B1 เมื่อ b &#8712; B จะได้ว่า (a,0)&#8800; (b,1) ดังนั้น A1&#8745; B1=&#8709;
และจาก A~ A1 และ B~B1 จะได้ว่า&#945;= # (A1) และ &#946; = # (B1) โดยที่ A1&#8745; B1=&#8709;
ทฤษฎีบท 4.2 ให้ &#945; และ &#946; เป็นจำนวนเชิงการนับ จะได้ว่า
&#945;+ &#946; = &#946; + &#945;
&#945;&#946; = &#946;&#945;
พิสูจน์ (1) ให้ &#945; และ &#946; เป็นจำนวนเชิงการนับ จะพิสูจน์ว่า &#945;+ &#946; = &#946; + &#945;
ให้ &#945; = # (A) และ &#946; = # (B) โดยที่ A&#8745;B =&#8709;
&#945; + &#946; = # (A&#8746;B) [บทนิยามผลบวกจำนวนเชิงการนับ]
และ &#946; + &#945; # (B&#8746;A) [บทนิยามผลบวกจำนวนเชิงการนับ]
แต่ A&#8746;B = B&#8746;A
เมื่อ A&#8746;B = B&#8746;A จะได้ว่า A&#8746;B ~ B&#8746;A
จะได้ว่า #( A&#8746;B) = # (B&#8746;A)
&#8756; &#945;+&#946;=&#946;+&#945; [บทนิยามผลบวกจำนวนเชิงการนับ]
ให้ &#945; และ &#946; เป็นจำนวนเชิงการนับ จะพิสูจน์ว่า &#945;&#946;=&#946;&#945;
ให้ &#945;=#(A) และ&#946;=#(B)
จะได้ &#945;&#946; = # (A&times;B) และ &#946;&#945; = # (B&times;A) [บทนิยามผลคูณจำนวนเชิงการนับ]
แต่ (A&times;B) ~(B&times;A)
ดังนั้น #(A&times;B) = # (B&times;A)
&#8756;&#945;&#946;=&#946;&#945; [บทนิยามผลคูณจำนวนเชิงการนับ]
ทฤษฎีบท 4.3 ให้ &#945;,&#946; และ &#947; เป็นจำนวนเชิงการนับ จะได้ว่า
&#945;(&#946;+&#947;)= &#945;&#946;+&#945;&#947;
(&#946;+&#947;)&#945;= &#946;&#945;+&#947;&#945;
พิสูจน์ (1) ให้ &#945;,&#946; และ &#947; เป็นจำนวนเชิงการนับ จะพิสูจน์ว่า &#945;(&#946;+&#947;)= &#945;&#946;+&#945;&#947;
ให้&#945;=#(A),&#946;=#และ &#947; =# (C) โดยที่ B&#8745;C = &#8709;
&#946;+&#947;=#(B&#8746;C) [บทนิยามผลบวกจำนวนเชิงการนับ]
&#945;(&#946;+&#947;) =# (A&times;(B&#8746;C)) [บทนิยามผลคูณจำนวนเชิงการนับ]
&#945;&#946;+&#945;&#947;=# (A&times; B)และ &#945;&#947; =# (A&times;C )[บทนิยามการ
คูณจำนวนเชิงการนับ]
&#945;&#946;+&#945;&#947; =# (A&times; B)&#8746;(A&times;C ) [บทนิยามผลบวกจำนวนเชิง
การนับ]
แต่ A&times;(B&#8746;C)=(A&times; B)&#8746;(A&times;C )
ดังนั้น A&times;(B&#8746;C)~=(A&times; B)&#8746;(A&times;C )
และได้ว่า#(A&times;(B&#8746;C))=# ((A&times; B)&#8746;(A&times;C ))
[สัจพจน์ 10]
&#8756;&#945;(&#946;+&#947;)=&#945;&#946;+&#945;&#947;[บทนิยามผลบวกและคูณจำนวนเชิงการนับ]
(2) ให้ ให้ &#945;,&#946; และ &#947; เป็นจำนวนเชิงการนับ
จะพิสูจน์ว่า(&#946;+&#947;)&#945;=&#946;&#945;+&#947;&#945;
(&#946;+&#947;)&#945;= &#946;&#945;+&#947;&#945;
= &#945;&#946;+&#945;&#947;
= &#946;&#945;+&#947;&#945;
&#8756;(&#946;+&#947;)&#945;= &#946;&#945;+&#947;&#945;
ทฤษฎีบท 4.4 ให้ &#945; เป็นจำนวนเชิงการนับ จะได้ว่า
&#945;+0=&#945;
&#945;1=&#945;
&#945;0=0
พิสูจน์ (1) ให้ &#945; เป็นจำนวนเชิงการนับ จะพิสูจน์ว่า &#945;+0=&#945;
ให้ &#945; =#(A)และ 0=#(&#8709;)
จะได้ว่า &#945;+0=#(A&#8746;&#8709;) [บทนิยามผลบวกจำนวนเชิงการนับ]
จากทฤษฎีบท 4.3 จะได้ว่า A&#8746;&#8709;=A ดังนั้น A&#8746;&#8709;A
จะได้ว่า #(A&#8746;&#8709;)=#(A)
&#8756; &#945;+0=&#945;
(2) ให้ &#945; เป็นจำนวนเชิงการนับ จะพิสูจน์ว่า &#945;1=&#945;
ให้ &#945; =#(A)และ 1=#({1})
&#945;1=#(A{1}) [บทนิยามผลคูณจำนวนเชิงการนับ]
แต่ A&times;{1}~A
ดังนั้น #(A{1})=#(A)
&#8756; &#945;1=&#945;
(3)ให้ &#945; เป็นจำนวนเชิงการนับ จะพิสูจน์ว่า &#945;0=0
ให้ &#945; =#(A)และ 0=#(&#8709;)
จะได้ว่า &#945;0=#(A&times;&#8709;) [บทนิยามผลคูณจำนวนเชิงการนับ]
แต่ A&times;&#8709;=#(&#8709;) ดังนั้น A&times;&#8709;~&#8709;
&#8756; &#945;0=0
ทฤษฎีบท 4.5 ให้ &#945; และ &#946; เป็นจำนวนเชิงการนับ จะได้ว่า
(1)&#945;&#946;=1&#8596;&#945;=1&#8743;&#946;=1
(2)&#945;&#946;=0&#8596;&#945;=0&#8744;&#946;=0
พิสูจน์ (1)ให้ &#945; และ &#946; เป็นจำนวนเชิงการนับ จะพิสูจน์ว่า &#945;&#946;=1&#8596;&#945;=1&#8743;&#946;=1
ตอนที่ 1 ให้ &#945; และ &#946; เป็นจำนวนเชิงการนับ และ &#945;&#946;=1จะพิสูจน์ว่า
&#945;=1&#8743;&#946;=1
ให้ &#945;=#(A) และ&#946;=#(B)
จากที่กำหนดให้ 1= &#945;&#946; ดังนั้น #(A&times;B)=1 [บทนิยามผลคูณ
จำนวนเชิงการนับ]
เนื่องจาก 1 = #(I_1^+&times;I_1^+) ดังนั้น A&times;B~I_1^+&times;I_1^+
เนื่องจาก #&#12310;(I&#12311;_1^+) =1 ดังนั้นI_1^+~ A และ I_1^+ ~B
จะได้ว่า # (A) =1และ# (B) =1
&#8756; &#945;=1&#8743;&#946;=1
ตอนที่ 2 ให้ &#945; และ &#946;เป็นจำนวนเชิงการนับ และ &#945;=1&#8743;&#946;=1
จะพิสูจน์ว่า &#945;&#946;=1
ให้ &#945;=#&#12310;(I&#12311;_1^+)และ &#946;=#&#12310;(I&#12311;_1^+)
และ &#945;&#946;= #(I_1^+&times;I_1^+) [บทนิยามผลคูณจำนวนเชิงการนับ]
ให้f: I_1^+&times;I_1^+ จะได้ว่า f: I_1^+&times;I_1^+ &#9633;(&#8594;&#9524;(1-1) ) I_1^+

ดังนั้น #(I_1^+&times;I_1^+) =#&#12310;(I&#12311;_1^+) [สัจพจน์ 10]
&#8756; &#945;&#946;=1
จำนวนเชิงอันดับ (Ordinal Number)
จากการศึกษาจำนวนเชิงการนับพบว่า มีการใช้จำนวนธรรมชาติในลักษณะการนับแทนจำนวนเชิงการนับ รวมทั้งในเรื่องเซตที่มีการเรียงอันดับดีและทุกเซตเป็นอันดับดี และการศึกษาถึงจำนวนสมาชิกหรือจำนวนที่เป็นตัวแทนของเซตต่างๆ ซึ่งต่อไปจะศึกษาจำนวนที่เป็นตัวแทนของเซตต่างๆจากเซตอันดับดีโดยเรียกจำนวนนี้ว่าจำนวนเชิงอันดับ ( ordinal number ) ซึ่งจะได้ศึกษาถึงการบวกจำนวนเชิงอันดับและการคูณจำนวนเชิงอันดับ
1.จำนวนเชิงอันดับ (Ordinal Number)
สัจพจน์ 1.1 สัจพจน์จำนวนเชิงอันดับ ( axiom of ordinality )
สำหรับทุกๆ A ที่เป็นเซตอันดับดี จะมีจำนวนเชิงอันดับที่ของ A เขียนแทนด้วย ord(A,r) ซึ่งมีสมบัติว่าสำหรับเซต A และ B ใดๆ
ord(A,r) = ord(B,s) &#8596; (A,r)&#8771; (B,s)
หมายเหตุ จาก (A, r) เป็นเซตอันดับดีอาจเขียน ord (A) แทน ord (A,r)
ในกรณีที่ไม่จำเป็นต้องกล่าวถึงความสัมพันธ์ของเซตอันดับดี หรือเขียนว่า A เป็นจำนวนเชิงอันดับที่ จะได้ว่า (A,r) เป็นเซตอันดับดี
บทนิยาม 1.1 r เป็นความสัมพันธ์ภายใน A r จะเป็นอันดับบางส่วนก็ต่อเมื่อ r มีสมบัติ
สะท้อน ปฏิสมมาตร และถ่ายทอด
บทนิยาม 1.2 กำหนดให้ A เป็นเซต และ r เป็นอันดับบางส่วนใน A แล้วคู่อันดับ (A,r) เรียกว่า เซตที่เป็นอันดับได้บางส่วน
บทนิยาม 1.3 กำหนดให้ (A ,&#8804; ) เป็นเซตที่เป็นอันดับได้บางส่วน ถ้า a&#8712; A จะเรียกว่า a ว่าสมาชิกแรก (first or smallest element) ของ A ก็ต่อเมื่อ a &#8804; x , &#8704; x&#8712; A
บทนิยาม 1.4 กำหนดให้ (A ,&#8804; ) เป็นเซตที่เป็นอันดับได้บางส่วนถ้า ทุกๆ เซตย่อยของ A ที่ไม่ใช่เซตว่าง มีสมาชิกแรกจะเรียก (A ,&#8804; ) ว่าเป็นเซตที่เป็นอันดับดีแล้ว
บทนิยาม 1.5 กำหนดให้ (A,r) เป็นเซตที่เป็นอันดับบางส่วน สมาชิก x,y&#8712; A จะเรียกว่าเปรียบเทียบกันได้ (comparable) ก็ต่อเมื่อ (x,y) &#8712;r หรือ (y,x) &#8712;r
บทนิยาม 1.6 เรียก r ว่าเป็นอันดับโดยสิ้นเชิงในเซต A ก็ต่อเมื่อ r เป็นอันดับบางส่วนในเซต A และสมาชิกทุกคู่ใน A เปรียบเทียบกันได้
บทนิยาม 1.7 กำหนด (A,r) และ (B,s) เป็นเซตที่เป็นอันดับดีแล้ว จะเรียก f ว่าสมสัณฐาน จาก A ไปทั่วถึง B ก็ต่อเมื่อ
1. f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไปทั่วถึง B
2. ถ้า (x,y) &#8712;r แล้ว ( f(x) ,f(y) ) &#8712;s
ตัวอย่าง 1.1 กำหนดให้ A = {1,2,3,4,} , B = {8,7,6,5}
พิจารณา (A ,&#8804; ) และ (B ,&#8804; ) จะได้
(A ,&#8804; ) และ (B ,&#8804; ) เป็นเซตที่เป็นอันดับดีแล้ว
นิยาม f : A&#8594; B ดังนี้ f = {(1,8),(2,7),(3,6),(4,5)}
จะได้ f : A&#8594; B เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและทั่วถึง
สำหรับทุกๆ x,y&#8712; A ถ้า x &#8804; y แล้วจะได้ f(x) &#8805; f(y)
ถ้าให้ r แทน &#8804; ใน A จะได้ x &#8804; y หรือ (x,y) &#8712;r
ถ้าให้ s แทน &#8805; ใน B จะได้ f(x) &#8805; f(y) หรือ ( f(x) ,f(y) ) &#8712;s
จาก ถ้า x &#8804; y แล้ว f(x) &#8805; f(y)
นั่นแสดงว่า (x,y) &#8712;r&#8594; ( f(x) ,f(y) ) &#8712;s
ดังนั้นจะได้ f มีสมบัติดังนี้
1. f : A&#8594; B เป็นฟังชันก์หนึ่งต่อหนึ่งและทั่วถึง
2. ถ้า (x,y) &#8712;r แล้ว ( f(x) ,f(y) ) &#8712;s
ในกรณีเช่นนี้ จะเรียก f ว่า สมสัณฐาน (isomorphism) จาก A ไปทั่วถึง B

บทนิยาม 1.8 ถ้า (A,r) และ (B,s) เป็นเซตที่เป็นอันดับดีแล้ว จะกล่าวว่า (A,r) คล้าย (similar) กับ (B,s) ก็ต่อเมื่อมีฟังก์ชัน f ที่เป็นสมสัณฐาน
จาก A ไปทั่วถึง B
จะเขียนแทน (A,r) คล้าย (B,s) ด้วย (A,r) &#8771; (B,s)
สัจพจน์1.2 สัจพจน์ของจำนวนเชิงอันดับ(axiom of ordinality)
สำหรับทุกๆ (A,r) ซึ่งเป็นเซตที่เป็นอันดับดีแล้ว แล้วจะมีจำนวนเชิงอันดับที่ของ (A,r) เขียนแทนด้วย Ord (A,r) ซึ่งมีสมบัติว่า Ord(A,r) = Ord(B,s)
ตัวอย่าง 1.2 กำหนดให้ A = {x1,x2,x3……..,xn}
ถ้ากำหนดให้ (A,r) เป็นเซตที่เป็นอันดับดีแล้ว
แล้วจะได้ (A,r) เป็นเซตที่เป็นอันดับได้โดยสิ้นเชิง
ดังนั้น สำหรับ x,y ทุกตัวใน A จะได้ว่า (x,y) &#8712;r หรือ (y,x) &#8712;r
นั่นแสดงว่า สมาชิกทุกคู่ของ A สามารถเปรียบเทียบกันได้
ตัวใดมาก่อนตัวใดมาหลัง แต่ A มีสมาชิก n ตัว
ดังนั้น การเรียงลำดับสมาชิกของ A มีทั้งหมด n วิธี
ถ้าเรียงสมาชิกของ A ตามลำดับ x1,x2,x3……..,xn แล้วจะได้
r = {(x1, x1), {(x1, x2), {(x1, x3),…...., (x1, xn), (x2, x2), (x2, x3), (x2, x4),…….,
(x2, xn), (x3, x3), (x3, x4), (x3, x5),……., (x3, xn),……., (xn-1, xn-1), (xn-1, xn), (xn, xn)}
แต่ถ้าเรียงสมาชิกของ A ตามลำดับของ A ตามลำดับ x2, x1, x3,……., xn
แล้วจะได้r = {(x2, x2), {(x2, x1), {(x2, x3),…...., (x1, xn), (x1, x1), (x1, x3), (x1, x4),…….,
(x1, xn), (x3, x3), (x3, x4), (x3, x5),……., (x3, xn),……., (xn-1, xn-1), (xn-1, xn), (xn, xn)}
นั่นแสดงว่า สำหรับเซตจำกัด A ที่มีสมาชิก n ตัวใดๆ จะมีความสัมพันธ์ r ในเซต A ที่ทำให้ (A,r)เป็นเซตที่เป็นอันดับดีแล้วทั้งหมด n! ความสัมพันธ์เท่านั้น
ดังนั้น ถ้า A และ B เป็นเซตที่มีสมาชิก n ตัว และ (A , r) , (B , s) เป็นเซตที่เป็นอันดับดีแล้ว จะมีฟังก์ชัน f ที่เป็นสมสัณฐานจาก A ไปทั่วถึง B เสมอ
นั่นแสดงว่า (A , r) &#8771; (B , s) นั่นคือ Ord(A , r) = Ord(B , s)
ดังนั้น จำนวนเชิงอันดับที่ของ (A , r) เมื่อ A มีสมาชิก n ตัว คือ n
นั่นคือ Ord(A , r) = n
ทฤษฎีบท 1.1 ถ้า จำนวนเชิงอันดับที่แล้ว &#945;^+ เป็นจำนวนเชิงอันดับที่
พิสูจน์ ให้ จำนวนเชิงอันดับที่ จะพิสูจน์ว่า &#945;^+ เป็นจำนวนเชิงอันดับที่
จากสัจพจน์ 1.1 จะได้ว่า เป็นเซตอันดับดี
และเนื่องจาก &#945;^+=&#945;&#8746;{&#945;} [บทนิยามตัวตามหลัง]
กำหนดการเรียงอันดับของสมาชิกใน &#945;^+
โดยกำหนดให้ &#8704;x&#8712;&#945; เรียงอันดับสมาชิก x
แบบเดิมและให้ &#8704;x&#8712;&#945;,x<&#945;
จะได้ว่า เป็นความสัมพันธ์สะท้อน ปฏิสมมาตรและถ่ายทอด
เนื่องจาก &#945;^+=&#945;&#8746;{&#945;} ให้ a&#8712;&#945;^+
จะได้ว่า a&#8712;&#945;&#709;a&#8712;{&#945;} หรือ a&#8712;&#945;&#709;a&#8712;{&#945;}
หรือ a&#8712;&#945;&#709;a=&#945; ให้ A&#8834;&#945;^+ และ A&#8800;&#8709;
กรณีที่ 1 ถ้า A&#8834;&#945; หรือ A=&#945; จะได้ว่า A มีสมาชิกแรก [&#945; เป็นเซต
อันดับดี]
กรณีที่ 2 ให้ x&#8712;A โดยที่ x&#8712;&#9082; หรือ x=&#945; จะได้ว่า A-{&#9082;}&#8834;&#9082;
ดังนั้น A-{&#945;} มี
สมาชิกแรกและ x&#8712;A-{&#945;} จะได้ว่า x<&#945; จากที่กำหนดการเรียง
อันดับของสมาชิกใน
&#945;^+&#8704;x&#8712;&#945;,x<&#945;
ดังนั้น A มีสมาชิกแรก จะได้ว่า &#945;^+ มีสมาชิกแรก
ดังนั้น &#945;^+ เป็นเซตอันดับดี
สรุปได้ว่า &#945;^+ เป็นจำนวนเชิงอันดับที่


ตัวอย่าง 1.3 ให้ 3={&#8709;,{&#8709;},{&#8709;,{&#8709;} }} เป็นจำนวนเชิงอันดับที่ จงแสดงว่า &#8746;3^+=3
วิธีทำ ให้3={&#8709;,{&#8709;},{&#8709;,{&#8709;} }}
เนื่องจาก 3^+=3&#8746;{3}
ดังนั้น 3^+={&#8709;,{&#8709;},{&#8709;,{&#8709;} } }&#8746;{{&#8709;,{&#8709;},{&#8709;,{&#8709;} } }}
&#8746;3^+ = &#8709;&#8746;{&#8709;}&#8746;{&#8709;,{&#8709;} }&#8746;{&#8709;,{&#8709;},{&#8709;,{&#8709;} } }
={&#8709;,{&#8709;},{&#8709;,{&#8709;} }}
ดังนั้น &#8746;3^+=3
2.การบวกและการคูณจำนวนเชิงอันดับ
บทนิยาม 2.1 สำหรับเซต A และเซต B ที่ A &#8745; B = &#8709; และ Ord(A , r) =a , Ord(B , s) = b แล้ว
ผลบวกของab เขียนแทนด้วย a+b หมายถึง a+b = Ord (A&#8746;B, t ) โดยที่ (x,y) &#8712; t
ก็ต่อเมื่อ (x,y) &#8712; r &#8744; (x,y) &#8712; s &#8744; (x&#8712; A &#8743; y&#8712;B)
ทฤษฎีบท 2.1 ถ้า (A,r) และ (B,s) เป็นเซตอันดับดีและ A&#8745;B=&#8709; แล้ว (A&#8746;B,r&#8853;s) เป็น
อันดับดี เมื่อ (x,y)&#8712;r&#8853;s&#8596;[(x,y)&#8712;Ir&#709;(x,y)&#8712;s&#709;(x&#8712;A&#708;y&#8712;B)]
พิสูจน์ ให้ (A,r

โพสต์โดย ออย : [18 ส.ค. 2554 เวลา 15:12 น.]
อ่าน [4176] ไอพี : 183.88.68.86
หากข้อความนี้ไม่เหมาะสม คลิก คลิกปุ่มนี้ หากเห็นว่าข้อความนี้ไม่เหมาะสม
 
 

โปรดอ่านกฎกติกาก่อนแสดงความเห็น
1. ข้อความของท่านจะขึ้นแสดงโดยอัตโนมัติทันทีที่ได้รับข้อมูล
2.
ห้ามโพสต์ ข้อความยั่วยุให้เกิดความรุนแรงทางสังคม ข้อความที่ก่อให้เกิดความเสียหายและเสื่อมเสียต่อบุคคลที่สาม, เบอร์โทรศัพท์,
รูปภาพที่ไม่เหมาะสมต่อเยาวชนหรือภาพลามกอนาจาร หรือกระทบถึงสถาบันอันเป็นที่เคารพ
ขอให้ผู้ตั้งกระทู้รับผิดชอบตัวเอง
และรับผิดชอบต่อสังคม ถ้ารูปภาพ หรือข้อความใดส่งผลกระทบต่อบุคคลอื่น ทีมงานพร้อมจะส่งรายละเอียดให้เจ้าหน้าที่
เพื่อตามจับตัวผู้กระทำผิดต่อไป

3.
สมาชิกที่โพสต์สิ่งเหล่านี้ อาจถูกดำเนินคดีทางกฎหมายจากผู้เสียหายได้
4. ไม่อนุญาตให้มีการโฆษณาสินค้าใด ๆ ทั้งสิ้น ทั้งทางตรงและทางอ้อม
5. ทุกความคิดเห็นเป็นข้อความที่ทางผู้เยี่ยมชมเข้ามาร่วมตั้งกระทู้ในเว็บไซต์ ทางเว็บไซต์ kroobannok.com ไม่มีส่วนเกี่ยวข้องใดๆ ทั้งสิ้น
6. ทางทีมงานขอสงวนสิทธิ์ในการลบกระทู้ที่ไม่เหมาะสมได้ทันที โดยไม่ต้องมีการชี้แจงเหตุผลใดๆ ต่อเจ้าของความเห็นนั้นทั้งสิ้น

7. หากพบเห็นรูปภาพ หรือข้อความที่ไม่เหมาะสม กรุณาแจ้งมาที่อีเมล์ kornkham@hotmail.com เพื่อทำการลบออกจากระบบต่อไป


 ** พระราชบัญญัติว่าด้วยการกระทำผิดเกี่ยวกับคอมพิวเตอร์ พ.ศ.๒๕๕๐**

ขออภัยในความไม่สะดวก เนื่องจากเราประสบปัญหา
มีผู้โพสต์ข้อความที่หมิ่นเหม่และไม่เหมาะสมเป็นจำนวนมาก
ครูบ้านนอกดอทคอมจึงขอความร่วมมือสมาชิก
กรุณาเข้าสู่ระบบก่อนแสดงความเห็นครับ


  

สมัครสมาชิกใหม่
 

 

Advertisement

 

 

รายการหลัก

หน้าแรก
ข่าว/บทความ
สมุดเยี่ยม
กระดานสนทนา
เว็บลิงค์
ผู้จัดทำเว็บครูบ้านนอก
ข้อมูลบุคคล
ภาพกิจกรรม
ผู้สนับสนุน

สมาชิก

เข้าสู่ระบบ


  

สมัครสมาชิกใหม่
คุณครูต้องรู้ไว้
รวมแบบฟอร์มต่างๆ

เว็บน่าสนใจ

เว็บไซต์ สพฐ.
กระทรวงศึกษาธิการ
โคมไฟ LampThai
เครื่องมือวัดไฟฟ้า
เกมส์
แหล่งรวมเกมส์

แหล่งรวมเกมส์



 เกมส์ รวมเกมส์สนุกๆ มากมาย
เกมส์ รวมเกมส์สนุกๆ คลายเครียด

เกมส์ รวมเกมส์ เกมส์แข่งรถ เกมส์ต่อสู้ เกมส์ภาษา เกมส์วางระเบิด เกมส์แต่งตัว เกมส์ท่องเที่ยว เกมส์หมากฮอส เกมส์ผจญภัย เกมส์เต้น เกมส์รถ เกมส์ดนตรี เกมส์ขายของ เกมส์ฝึกสมอง เกมส์เด็กๆ เกมส์ปลูกผัก เกมส์การ์ด เกมส์จับผิดภาพ เกมส์ตลก เกมส์ตัดผม เกมส์ก้านกล้วย เกมส์ทําอาหาร เกมส์เลี้ยงสัตว์ เกมส์ผี เกมส์จับคู่ เกมส์กีฬา เกมส์เศรษฐี เกมส์ฝึกทักษะ เกมส์วางแผน เกมส์จีบหนุ่ม เกมส์มาริโอ เกมส์ระบายสี เกมส์จีบสาว เกมส์เบ็นเท็น เกมส์ยิง เกมส์ยาน เกมส์สร้างเมือง เกมส์มันส์ๆ เกมส์แต่งบ้าน เกมส์ความรู้
      kroobannok.com

© 2000-2020 Kroobannok.com  
All rights reserved.


Design by : kroobannok.com


ครูบ้านนอกดอทคอม
เป็นเว็บไซต์อันดับที่เท่าไหร่?
ของเว็บการศึกษาในประเทศไทย

การจัดอันดับของ Truehits Web Directory

วิธีนำแบนเนอร์ของครูบ้านนอก.คอมไปแปะในเว็บท่าน บันทึกภาพแบนเนอร์นี้และลิงค์มาที่เราครับ (มีแบนเนอร์ 2 แบบ)
 

ครูบ้านนอกดอทคอม เว็บไซต์ของครูตัวเล็กๆ คนหนึ่ง ที่หวังเพียง ใช้เป็นช่องทางในการสื่อสาร แลกเปลี่ยน เพิ่มพูนความรู้ และให้ข่าวสาร ที่ทันสมัยต่อเหตุการณ์แก่คุณครู ผู้ปฏิบัติงานในทุกพื้นที่ของประเทศไทย เพื่อความเจริญงอกงามในปัญญา และเจริญก้าวหน้าในวิชาชีพ

ครูอดิศร ก้อนคำ
ผู้จัดทำเว็บครูบ้านนอกดอทคอม

Tel : 081-3431047

เว็บนี้ถือกำเนิดเมื่อ 5 มกราคม 2548

Email1 : kornkham@hotmail.com

สนใจสนับสนุนเรา โดยลงโฆษณา
คลิกดูรายละเอียดที่นี่ครับ

Google+
ศิษย์เก่าโรงเรียนบ้านน้ำเที่ยง"วันครู2501"
ศิษย์เก่าโรงเรียนคำชะอีวิทยาคาร
ศิษย์เก่าสถาบันราชภัฏสกลนคร
ศิษย์เก่ามหาวิทยาลัยมหาสารคาม